Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{y}))}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot {\arctan (\sqrt{y})}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.2

Kombinieren.

$x = \frac{1 \cdot 1}{2 {\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2 {\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2 {\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}} = x$ um.

$\frac{1}{2 {\arctan (\sqrt{y})}^{\frac{1}{2}}} = x$

Schritt 2.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} = x$

Schritt 2.4

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}, 1$

Schritt 2.4.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.5

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} = x$ mit $2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} = x$ mit $2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = x (2 {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.6

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Schreibe die Gleichung als $2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 1$ um.

$2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 1$

Schritt 2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 1$ durch $2 x$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 1$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{2 x} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{2 x} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 2.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 2.6.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x {\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 2.6.2.2.4

Dividiere ${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 2.6.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Schritt 2.6.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.6.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.4.1.1

Vereinfache ${({\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.6.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.6.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Schritt 2.6.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Schritt 2.6.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${\arctan (y^{\frac{1}{2}})}^{1} = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Schritt 2.6.4.1.1.2

Vereinfache.

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = {(\frac{1}{2 x})}^{2}$

Schritt 2.6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.4.2.1

Vereinfache ${(\frac{1}{2 x})}^{2}$ .

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Schritt 2.6.4.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.6.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2 x}$ an.

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1^{2}}{{(2 x)}^{2}}$

Schritt 2.6.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1^{2}}{2^{2} x^{2}}$

Schritt 2.6.4.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2^{2} x^{2}}$

Schritt 2.6.4.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\arctan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4 x^{2}}$

Schritt 2.6.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.6.5.1

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y^{\frac{1}{2}} = \tan (\frac{1}{4 x^{2}})$

Schritt 2.6.5.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Schritt 2.6.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.5.3.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.6.5.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.6.5.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Schritt 2.6.5.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.5.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Schritt 2.6.5.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Schritt 2.6.5.3.1.2

Vereinfache.

$y = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{4 {(\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2} \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}}$ an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.2.3.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.2.3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.2.3.2.2

Schreibe $\frac{1}{2}$ als $2^{- 1}$ um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {(2^{- 1})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.2.3.2.3

Potenziere $2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {({(2)}^{- 1})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.2.3.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.2.3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} {(2^{- 1})}^{2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.2.3.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} \cdot 2^{- 1 \cdot 2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.2.3.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2} \cdot 2^{- 2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.2.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{2 - 2} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.2.3.2.8

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{2^{0} \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.2.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.2.3.4

Multipliziere die Exponenten in ${({\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{- \frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 4.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 4.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 4.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot {\arctan (\sqrt{x})}^{- 1}})$

Schritt 4.2.3.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{1 \cdot \frac{1}{\arctan (\sqrt{x})}})$

Schritt 4.2.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\arctan (\sqrt{x})}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\frac{1}{\frac{1}{\arctan (\sqrt{x})}})$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (1 \arctan (\sqrt{x}))$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $\arctan (\sqrt{x})$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = \tan^{2} (\arctan (\sqrt{x}))$

Schritt 4.2.6

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 4.2.7

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 4.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 4.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 4.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x$

Schritt 4.2.7.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})}))}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1}{2} \cdot {\arctan (\tan (\frac{1}{4 x^{2}}))}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arctan (\tan (\frac{1}{4 x^{2}}))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.5

Kombinieren.

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1 \cdot 1}{2 {\arctan (\tan (\frac{1}{4 x^{2}}))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f (\tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})) = \frac{1}{2 {\arctan (\tan (\frac{1}{4 x^{2}}))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(\arctan (\sqrt{x}))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \tan^{2} (\frac{1}{4 x^{2}})$