Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{1 - \tan (x)}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{1 - \tan (y)}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{1 - \tan (y)} = x$ um.

$\frac{1}{1 - \tan (y)} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1 - \tan (y), 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$1 - \tan (y), 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$1 - \tan (y)$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{1 - \tan (y)} = x$ mit $1 - \tan (y)$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{1 - \tan (y)} = x$ mit $1 - \tan (y)$ .

$\frac{1}{1 - \tan (y)} (1 - \tan (y)) = x (1 - \tan (y))$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \tan (y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 - \tan (y)} (1 - \tan (y)) = x (1 - \tan (y))$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = x (1 - \tan (y))$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = x \cdot 1 + x (- \tan (y))$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 = x + x (- \tan (y))$

Schritt 2.3.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = x - x \tan (y)$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $x - x \tan (y) = 1$ um.

$x - x \tan (y) = 1$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x \tan (y) = 1 - x$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $- x \tan (y) = 1 - x$ durch $- x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \tan (y) = 1 - x$ durch $- x$ .

$\frac{- x \tan (y)}{- x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x \tan (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \tan (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 2.4.3.2.2.2

Dividiere $\tan (y)$ durch $1$ .

$\tan (y) = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.3.1.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\tan (y) = \frac{- 1 (- 1)}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 2.4.3.3.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (y) = - \frac{1}{x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 2.4.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\tan (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Schritt 2.4.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Schritt 2.4.3.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (y) = - \frac{1}{x} + 1$

Schritt 2.5

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (- \frac{1}{x} + 1)$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (- \frac{1}{x} + 1)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arctan (- \frac{1}{x} + 1)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{1 - \tan (x)}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- \frac{1}{\frac{1}{1 - \tan (x)}} + 1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- (1 (1 - \tan (x))) + 1)$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $1 - \tan (x)$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- (1 - \tan (x)) + 1)$

Schritt 4.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- 1 \cdot 1 + \tan (x) + 1)$

Schritt 4.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- 1 + \tan (x) + 1)$

Schritt 4.2.3.5

Multipliziere $- - \tan (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- 1 + 1 \tan (x) + 1)$

Schritt 4.2.3.5.2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (- 1 + \tan (x) + 1)$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1 + \tan (x) + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (0 + \tan (x))$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $0$ und $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \tan (x)}) = \arctan (\tan (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - \tan (\arctan (- \frac{1}{x} + 1))}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{x} + 1)}$

Schritt 4.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3.3

Multipliziere $- - \frac{1}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{x}) - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1}$

Schritt 4.3.3.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Schritt 4.3.3.6

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = 1 x$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\arctan (- \frac{1}{x} + 1)) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arctan (- \frac{1}{x} + 1)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{1 - \tan (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (- \frac{1}{x} + 1)$