Trigonometrie Beispiele

${(\sqrt[3]{64 x^{6}})}^{5}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = {(\sqrt[3]{64 y^{6}})}^{5}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache ${\sqrt[3]{64 y^{6}}}^{5}$ .

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Schritt 2.1.1

Schreibe $64 y^{6}$ als ${(4 y^{2})}^{3}$ um.

$x = {\sqrt[3]{{(4 y^{2})}^{3}}}^{5}$

Schritt 2.1.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = {(4 y^{2})}^{5}$

Schritt 2.1.3

Wende die Produktregel auf $4 y^{2}$ an.

$x = 4^{5} {(y^{2})}^{5}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $4$ mit $5$ .

$x = 1024 {(y^{2})}^{5}$

Schritt 2.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{5}$ .

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Schritt 2.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 1024 y^{2 \cdot 5}$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = 1024 y^{10}$

Schritt 2.2

Schreibe die Gleichung als $1024 y^{10} = x$ um.

$1024 y^{10} = x$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $1024 y^{10} = x$ durch $1024$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $1024 y^{10} = x$ durch $1024$ .

$\frac{1024 y^{10}}{1024} = \frac{x}{1024}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1024$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1024 y^{10}}{1024} = \frac{x}{1024}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $y^{10}$ durch $1$ .

$y^{10} = \frac{x}{1024}$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[10]{\frac{x}{1024}}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\pm \sqrt[10]{\frac{x}{1024}}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $\frac{x}{1024}$ als ${(\frac{1}{2})}^{10} x$ um.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{10}$ aus $x$ heraus.

$y = \pm \sqrt[10]{\frac{1^{10} x}{1024}}$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{10}$ aus $1024$ heraus.

$y = \pm \sqrt[10]{\frac{1^{10} x}{2^{10} \cdot 1}}$

Schritt 2.5.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{10} x}{2^{10} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt[10]{{(\frac{1}{2})}^{10} x}$

Schritt 2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt[10]{x}$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt[10]{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}, - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}, - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\sqrt[3]{64 x^{6}})}^{5}$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = {(\sqrt[3]{64 x^{6}})}^{5}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}, - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\sqrt[10]{x}}{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Setze den Radikanden in $\sqrt[10]{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 4.3

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}, - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = {(\sqrt[3]{64 x^{6}})}^{5}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[10]{x}}{2}, - \frac{\sqrt[10]{x}}{2}$ keine inverse Funktion von $f (x) = {(\sqrt[3]{64 x^{6}})}^{5}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 5