Trigonometrie Beispiele

$- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)} = x$ um.

$- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$x \cdot (1 + \cos (6 y)) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache $x \cdot (1 + \cos (6 y))$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot 1 + x \cos (6 y) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + x \cos (6 y) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

Schritt 2.3

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{1 - \cos (6 y)} = x + x \cos (6 y)$ um.

$- \sqrt{1 - \cos (6 y)} = x + x \cos (6 y)$

Schritt 2.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{1 - \cos (6 y)})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - \cos (6 y)}$ als ${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache ${(- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Schritt 2.5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Schritt 2.5.2.1.3

Mutltipliziere ${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Schritt 2.5.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Schritt 2.5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Schritt 2.5.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - \cos (6 y))}^{1} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Schritt 2.5.2.1.5

Vereinfache.

$1 - \cos (6 y) = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache ${(x + x \cos (6 y))}^{2}$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe ${(x + x \cos (6 y))}^{2}$ als $(x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$ um.

$1 - \cos (6 y) = (x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$

Schritt 2.5.3.1.2

Multipliziere $(x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - \cos (6 y) = x (x + x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) (x + x \cos (6 y))$

Schritt 2.5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - \cos (6 y) = x \cdot x + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) (x + x \cos (6 y))$

Schritt 2.5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - \cos (6 y) = x \cdot x + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Schritt 2.5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Schritt 2.5.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x \cdot x \cos (6 y) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Schritt 2.5.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Schritt 2.5.3.1.3.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x \cdot x \cos (6 y) + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Schritt 2.5.3.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

Schritt 2.5.3.1.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x \cdot x \cos (6 y) \cos (6 y)$

Schritt 2.5.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) \cos (6 y)$

Schritt 2.5.3.1.3.1.5

Multipliziere $x^{2} \cos (6 y) \cos (6 y)$ .

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Schritt 2.5.3.1.3.1.5.1

Potenziere $\cos (6 y)$ mit $1$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} (\cos^{1} (6 y) \cos (6 y))$

Schritt 2.5.3.1.3.1.5.2

Potenziere $\cos (6 y)$ mit $1$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} (\cos^{1} (6 y) \cos^{1} (6 y))$

Schritt 2.5.3.1.3.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} {\cos (6 y)}^{1 + 1}$

Schritt 2.5.3.1.3.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos^{2} (6 y)$

Schritt 2.5.3.1.3.2

Addiere $x^{2} \cos (6 y)$ und $x^{2} \cos (6 y)$ .

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + 2 x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos^{2} (6 y)$

Schritt 2.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.6.1

Ersetze $\cos (6 y)$ durch $u$ .

$1 - (u) = x^{2} + 2 x^{2} (u) + x^{2} {(u)}^{2}$

Schritt 2.6.2

Da $u$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} = 1 - u$

Schritt 2.6.3

Addiere $u$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} + u = 1$

Schritt 2.6.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} + u - 1 = 0$

Schritt 2.6.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.6.6

Setze die Werte $a = x^{2}$ , $b = 2 x^{2} + 1$ und $c = x^{2} - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- (2 x^{2} + 1) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (x^{2} - 1))}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.4

Schreibe ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ als $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ um.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.5

Multipliziere $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.7.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.7.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.7.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.6.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.7.6.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.6.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.6.1.5

Mutltipliziere $2 x^{2}$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.6.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.6.2

Addiere $2 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.7

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.7.8.1

Bewege $x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.8.3

Addiere $2$ und $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.10

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $4 x^{4}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 0 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.11

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.7.12

Addiere $4 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.8.1

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.8.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.8.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ heraus.

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - 1 (- \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} + 1) - 1 (- \sqrt{8 x^{2} + 1})$ heraus.

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.8.7

Schreibe $- (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})$ als $- 1 (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})$ um.

$u = \frac{- 1 (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.4

Schreibe ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ als $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ um.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.5

Multipliziere $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.9.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.9.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.9.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.6.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.9.1.6.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.6.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.6.1.5

Mutltipliziere $2 x^{2}$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.6.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.6.2

Addiere $2 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.9.1.8.1

Bewege $x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.8.3

Addiere $2$ und $2$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.10

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $4 x^{4}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 0 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.11

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.1.12

Addiere $4 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.2

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{8 x^{2} + 1}$ heraus.

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - (\sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} + 1) - (\sqrt{8 x^{2} + 1})$ heraus.

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.8

Schreibe $- (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})$ als $- 1 (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})$ um.

$u = \frac{- 1 (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.9.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.11

Ersetze $u$ durch $\cos (6 y)$ .

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}, - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.12

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $y$ aufzulösen.

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Schritt 2.6.13

Löse in $\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.13.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$6 y = \arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Schritt 2.6.13.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.13.2.1

Vereinfache $\arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.13.2.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ in zwei Brüche.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Schritt 2.6.13.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.13.2.1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}}$ in zwei Brüche.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Schritt 2.6.13.2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.13.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.13.2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Schritt 2.6.13.2.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Schritt 2.6.13.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.13.2.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Schritt 2.6.13.2.1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Schritt 2.6.13.2.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Schritt 2.6.13.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 y = \arccos (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Schritt 2.6.13.2.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.13.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Schritt 2.6.13.2.1.4.2

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.13.2.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + 1 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Schritt 2.6.13.2.1.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ mit $1$ .

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Schritt 2.6.13.3

Teile jeden Ausdruck in $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ durch $6$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.13.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ durch $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Schritt 2.6.13.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.13.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.13.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Schritt 2.6.13.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Schritt 2.6.14

Löse in $\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.14.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$6 y = \arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Schritt 2.6.14.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.14.2.1

Vereinfache $\arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.14.2.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ in zwei Brüche.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Schritt 2.6.14.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.14.2.1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}}$ in zwei Brüche.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Schritt 2.6.14.2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.14.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.14.2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Schritt 2.6.14.2.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Schritt 2.6.14.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.14.2.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Schritt 2.6.14.2.1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

Schritt 2.6.14.2.1.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.6.14.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 y = \arccos (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Schritt 2.6.14.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

Schritt 2.6.14.3

Teile jeden Ausdruck in $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ durch $6$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.14.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ durch $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Schritt 2.6.14.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.14.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.14.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Schritt 2.6.14.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Schritt 2.6.15

Liste alle Lösungen auf.

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ .

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Schritt 4.2.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$8 x^{2} + 1 \geq 0$

Schritt 4.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$8 x^{2} \geq - 1$

Schritt 4.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{2} \geq - 1$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{2} \geq - 1$ durch $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

Schritt 4.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

Schritt 4.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{8}$

Schritt 4.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} \geq - \frac{1}{8}$

Schritt 4.2.2.3

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 4.2.3

Setze das Argument in $\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ größer oder gleich $- 1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1$

Schritt 4.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.4.1

Löse nach $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ auf.

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Schritt 4.2.4.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.2.4.1.1.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1 + 1$

Schritt 4.2.4.1.1.2

Addiere $\frac{1}{2 x^{2}}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1 + 1 + \frac{1}{2 x^{2}}$

Schritt 4.2.4.1.1.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq 0 + \frac{1}{2 x^{2}}$

Schritt 4.2.4.1.1.4

Addiere $0$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq \frac{1}{2 x^{2}}$

Schritt 4.2.4.1.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \geq 1$

Schritt 4.2.4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{8 x^{2} + 1}}^{2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.2.4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ als ${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.4.3.2.1

Vereinfache ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.4.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.4.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.2.4.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.2.4.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 x^{2} + 1)}^{1} \geq 1^{2}$

Schritt 4.2.4.3.2.1.2

Vereinfache.

$8 x^{2} + 1 \geq 1^{2}$

Schritt 4.2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.3.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 x^{2} + 1 \geq 1$

Schritt 4.2.4.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.4.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$8 x^{2} \geq 1 - 1$

Schritt 4.2.4.4.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$8 x^{2} \geq 0$

Schritt 4.2.4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{2} \geq 0$ durch $8$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{2} \geq 0$ durch $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{0}{8}$

Schritt 4.2.4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{0}{8}$

Schritt 4.2.4.4.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \geq \frac{0}{8}$

Schritt 4.2.4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $8$ .

$x^{2} \geq 0$

Schritt 4.2.4.4.3

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 4.2.5

Setze das Argument in $\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ kleiner oder gleich $1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1$

Schritt 4.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.1

Löse nach $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ auf.

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Schritt 4.2.6.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.2.6.1.1.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1 + 1$

Schritt 4.2.6.1.1.2

Addiere $\frac{1}{2 x^{2}}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2 x^{2}}$

Schritt 4.2.6.1.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 2 + \frac{1}{2 x^{2}}$

Schritt 4.2.6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $2 x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} (2 x^{2}) \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Schritt 4.2.6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.6.1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.6.1.3.1.1

Vereinfache $\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} (2 x^{2})$ .

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Schritt 4.2.6.1.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Schritt 4.2.6.1.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 (x^{2})} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Schritt 4.2.6.1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Schritt 4.2.6.1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Schritt 4.2.6.1.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.6.1.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Schritt 4.2.6.1.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

Schritt 4.2.6.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.6.1.3.2.1

Vereinfache $(2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$ .

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Schritt 4.2.6.1.3.2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.1.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 2 (2 x^{2}) + \frac{1}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 4.2.6.1.3.2.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.6.1.3.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 4.2.6.1.3.2.1.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} x^{2}$

Schritt 4.2.6.1.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.6.1.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.1.3.2.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 (x^{2})} x^{2}$

Schritt 4.2.6.1.3.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} x^{2}$

Schritt 4.2.6.1.3.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 4.2.6.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.6.1.3.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 4.2.6.1.3.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 1$

Schritt 4.2.6.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{8 x^{2} + 1}}^{2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Schritt 4.2.6.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.2.6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ als ${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Schritt 4.2.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.6.3.2.1

Vereinfache ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.6.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.6.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Schritt 4.2.6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Schritt 4.2.6.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 x^{2} + 1)}^{1} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Schritt 4.2.6.3.2.1.2

Vereinfache.

$8 x^{2} + 1 \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

Schritt 4.2.6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.3.3.1

Vereinfache ${(4 x^{2} + 1)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.3.3.1.1

Schreibe ${(4 x^{2} + 1)}^{2}$ als $(4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$ um.

$8 x^{2} + 1 \leq (4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$

Schritt 4.2.6.3.3.1.2

Multipliziere $(4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.6.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2} + 1) + 1 (4 x^{2} + 1)$

Schritt 4.2.6.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2} + 1)$

Schritt 4.2.6.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.6.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.6.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.6.3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.6.3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.6.3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.6.3.3.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.6.3.3.1.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.6.3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.6.3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.6.3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $4 x^{2}$ mit $1$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.6.3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 1$

Schritt 4.2.6.3.3.1.3.2

Addiere $4 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 8 x^{2} + 1$

Schritt 4.2.6.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.4.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 \geq 8 x^{2} + 1$

Schritt 4.2.6.4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.2.6.4.2.1

Subtrahiere $8 x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 - 8 x^{2} \geq 1$

Schritt 4.2.6.4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 - 8 x^{2}$ .

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Schritt 4.2.6.4.2.2.1

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$16 x^{4} + 0 + 1 \geq 1$

Schritt 4.2.6.4.2.2.2

Addiere $16 x^{4}$ und $0$ .

$16 x^{4} + 1 \geq 1$

Schritt 4.2.6.4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.2.6.4.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$16 x^{4} \geq 1 - 1$

Schritt 4.2.6.4.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$16 x^{4} \geq 0$

Schritt 4.2.6.4.4

Teile jeden Ausdruck in $16 x^{4} \geq 0$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.6.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $16 x^{4} \geq 0$ durch $16$ .

$\frac{16 x^{4}}{16} \geq \frac{0}{16}$

Schritt 4.2.6.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.6.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 4.2.6.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 x^{4}}{16} \geq \frac{0}{16}$

Schritt 4.2.6.4.4.2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} \geq \frac{0}{16}$

Schritt 4.2.6.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.6.4.4.3.1

Dividiere $0$ durch $16$ .

$x^{4} \geq 0$

Schritt 4.2.6.4.5

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 4.2.7

Setze den Nenner in $\frac{1}{2 x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x^{2} = 0$

Schritt 4.2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.8.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 0$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.8.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.8.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.8.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.8.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.8.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2.8.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.8.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.8.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.8.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.8.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 4.3

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ keine inverse Funktion von $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 5