Trigonometrie Beispiele

$\frac{6 x}{x + 5}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{6 y}{y + 5}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{6 y}{y + 5} = x$ um.

$\frac{6 y}{y + 5} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y + 5, 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y + 5, 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y + 5$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{6 y}{y + 5} = x$ mit $y + 5$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{6 y}{y + 5} = x$ mit $y + 5$ .

$\frac{6 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 5$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 y = x (y + 5)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 y = x y + x \cdot 5$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 y = x y + 5 x$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y - x y = 5 x$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $y$ aus $6 y - x y$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $6 y$ heraus.

$y \cdot 6 - x y = 5 x$

Schritt 2.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot 6 + y (- x) = 5 x$

Schritt 2.4.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 6 + y (- x)$ heraus.

$y (6 - x) = 5 x$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y (6 - x) = 5 x$ durch $6 - x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (6 - x) = 5 x$ durch $6 - x$ .

$\frac{y (6 - x)}{6 - x} = \frac{5 x}{6 - x}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 - x$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (6 - x)}{6 - x} = \frac{5 x}{6 - x}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5 x}{6 - x}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{6 - x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{6 - x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{6 x}{x + 5}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{6 x}{x + 5})}{6 - (\frac{6 x}{x + 5})}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{6 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{6 - \frac{6 x}{x + 5}}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.1

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{6 (x + 5)}{x + 5} - \frac{6 x}{x + 5}}$

Schritt 4.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{6 (x + 5) - 6 x}{x + 5}}$

Schritt 4.2.4.3

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{- 6 x + 6 (x + 5)}{x + 5}}$

Schritt 4.2.4.4

Schreibe $\frac{- 6 x + 6 (x + 5)}{x + 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.4.4.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x + 6 (x + 5)$ heraus.

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Schritt 4.2.4.4.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{6 (- x) + 6 (x + 5)}{x + 5}}$

Schritt 4.2.4.4.1.2

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x) + 6 (x + 5)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{6 (- x + x + 5)}{x + 5}}$

Schritt 4.2.4.4.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{6 (0 + 5)}{x + 5}}$

Schritt 4.2.4.4.3

Addiere $0$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{6 \cdot 5}{x + 5}}$

Schritt 4.2.4.5

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{x + 5}}{\frac{30}{x + 5}}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{\frac{30 x}{x + 5}}{\frac{30}{x + 5}}$

Schritt 4.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{30 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{30}$

Schritt 4.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 4.2.7.1

Faktorisiere $30$ aus $30 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{30 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{30}$

Schritt 4.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{30 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{30}$

Schritt 4.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Schritt 4.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{x + 5}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{5 x}{6 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{6 (\frac{5 x}{6 - x})}{(\frac{5 x}{6 - x}) + 5}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $6$ und $\frac{5 x}{6 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 x}{6 - x} + 5}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 x}{6 - x} + \frac{5 (6 - x)}{6 - x}}$

Schritt 4.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 x + 5 (6 - x)}{6 - x}}$

Schritt 4.3.4.3

Stelle die Terme um.

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 x + 5 (6 - x)}{- x + 6}}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $\frac{5 x + 5 (6 - x)}{- x + 6}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x + 5 (6 - x)$ heraus.

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Schritt 4.3.4.4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 (x) + 5 (6 - x)}{- x + 6}}$

Schritt 4.3.4.4.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (6 - x)$ heraus.

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 (x + 6 - x)}{- x + 6}}$

Schritt 4.3.4.4.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 (0 + 6)}{- x + 6}}$

Schritt 4.3.4.4.3

Addiere $0$ und $6$ .

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{5 \cdot 6}{- x + 6}}$

Schritt 4.3.4.5

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{6 - x}}{\frac{30}{- x + 6}}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{\frac{30 x}{6 - x}}{\frac{30}{- x + 6}}$

Schritt 4.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{30 x}{6 - x} \cdot \frac{- x + 6}{30}$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 4.3.7.1

Faktorisiere $30$ aus $30 x$ heraus.

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{30 (x)}{6 - x} \cdot \frac{- x + 6}{30}$

Schritt 4.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{30 x}{6 - x} \cdot \frac{- x + 6}{30}$

Schritt 4.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{x}{6 - x} \cdot (- x + 6)$

Schritt 4.3.8

Mutltipliziere $\frac{x}{6 - x}$ mit $- x + 6$ .

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{x (- x + 6)}{6 - x}$

Schritt 4.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 6$ und $6 - x$ .

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Schritt 4.3.9.1

Stelle die Terme um.

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{x (- x + 6)}{- x + 6}$

Schritt 4.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = \frac{x (- x + 6)}{- x + 6}$

Schritt 4.3.9.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{5 x}{6 - x}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{6 - x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{6 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{6 - x}$