Trigonometrie Beispiele

$45^{y}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $45^{y} = x$ um.

$45^{y} = x$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (45^{y}) = \ln (x)$

Schritt 3

Zerlege $\ln (45^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (45) = \ln (x)$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (45) = \ln (x)$ durch $\ln (45)$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (45) = \ln (x)$ durch $\ln (45)$ .

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (45)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

Schritt 5

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\ln (y)}{\ln (45)}$

Schritt 6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$ um.

$\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\ln (45)$ .

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (45)$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

Schritt 6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (y) = \ln (45) x$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Stelle die Faktoren in $\ln (45) x$ um.

$\ln (y) = x \ln (45)$

Schritt 6.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y)} = e^{x \ln (45)}$

Schritt 6.5

Schreibe $\ln (y) = x \ln (45)$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x \ln (45)} = y$

Schritt 6.6

Schreibe die Gleichung als $y = e^{x \ln (45)}$ um.

$y = e^{x \ln (45)}$

Schritt 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$

Schritt 8

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ ist.

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Schritt 8.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 8.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 8.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 8.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{(\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) \ln (45)}$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (45)$ .

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Schritt 8.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\frac{\ln (x)}{\ln (45)} \cdot \ln (45)}$

Schritt 8.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\ln (x)}$

Schritt 8.2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = x$

Schritt 8.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 8.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 8.3.2

Berechne $f (e^{x \ln (45)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{\ln (e^{x \ln (45)})}{\ln (45)}$

Schritt 8.3.3

Zerlege $\ln (e^{x \ln (45)})$ durch Herausziehen von $x \ln (45)$ aus dem Logarithmus.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Schritt 8.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (45)$ .

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Schritt 8.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

Schritt 8.3.4.2

Dividiere $x \ln (e)$ durch $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \ln (e)$

Schritt 8.3.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x \cdot 1$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (e^{x \ln (45)}) = x$

Schritt 8.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$