Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (x)}{\sec (x)}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\tan (y)}{\sec (y)}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\tan (y)}{\sec (y)} = x$ um.

$\frac{\tan (y)}{\sec (y)} = x$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{\tan (y)}{\sec (y)}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\tan (y)}{\frac{1}{\cos (y)}} = x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $\tan (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\frac{1}{\cos (y)}} = x$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (y)}$ zu dividieren.

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cos (y) = x$

Schritt 2.2.1.4

Schreibe $\cos (y)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1} = x$

Schritt 2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y)$ .

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Schritt 2.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1} = x$

Schritt 2.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = x$

Schritt 2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (x)$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\tan (x)}{\sec (x)}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\tan (x)}{\sec (x)})$

Schritt 4.2.3

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}})$

Schritt 4.2.4

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}})$

Schritt 4.2.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \cos (x))$

Schritt 4.2.6

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1})$

Schritt 4.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1})$

Schritt 4.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x)}{\sec (x)}) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arcsin (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arcsin (x)) = \frac{\tan (\arcsin (x))}{\sec (\arcsin (x))}$

Schritt 4.3.3

Schreibe $\sec (\arcsin (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f (\arcsin (x)) = \frac{\tan (\arcsin (x))}{\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $\tan (\arcsin (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f (\arcsin (x)) = \frac{\frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))}}{\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}}$

Schritt 4.3.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}$ zu dividieren.

$f (\arcsin (x)) = \frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \cos (\arcsin (x))$

Schritt 4.3.6

Schreibe $\cos (\arcsin (x))$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\arcsin (x)) = \frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \frac{\cos (\arcsin (x))}{1}$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (\arcsin (x))$ .

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Schritt 4.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arcsin (x)) = \frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \frac{\cos (\arcsin (x))}{1}$

Schritt 4.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\arcsin (x)) = \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.3.8

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\arcsin (x)) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\tan (x)}{\sec (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x)$