Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{w^{11}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$w = \sqrt{y^{11}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{y^{11}} = w$ um.

$\sqrt{y^{11}} = w$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y^{11}}}^{2} = w^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y^{11}}$ als $y^{\frac{11}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{11}{2}})}^{2} = w^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{11}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{11}{2} \cdot 2} = w^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{11}{2} \cdot 2} = w^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{11} = w^{2}$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[11]{w^{2}}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (w)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$ die Umkehrfunktion von $f (w) = \sqrt{w^{11}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (w)) = w$ ist und $f (f^{- 1} (w)) = w$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (w))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (w))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{w^{11}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{(\sqrt{w^{11}})}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Schreibe $w^{11}$ als ${(w^{5})}^{2} w$ um.

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $w^{10}$ aus.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{\sqrt{w^{10} w}}^{2}}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $w^{10}$ als ${(w^{5})}^{2}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{\sqrt{{(w^{5})}^{2} w}}^{2}}$

Schritt 4.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{(w^{5} \sqrt{w})}^{2}}$

Schritt 4.2.5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.5.1

Wende die Produktregel auf $w^{5} \sqrt{w}$ an.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{{(w^{5})}^{2} {\sqrt{w}}^{2}}$

Schritt 4.2.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(w^{5})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{5 \cdot 2} {\sqrt{w}}^{2}}$

Schritt 4.2.5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} {\sqrt{w}}^{2}}$

Schritt 4.2.6

Schreibe ${\sqrt{w}}^{2}$ als $w$ um.

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Schritt 4.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{w}$ als $w^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} {(w^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w}$

Schritt 4.2.6.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w}$

Schritt 4.2.7

Multipliziere $w^{10}$ mit $w$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.7.1

Mutltipliziere $w^{10}$ mit $w$ .

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Schritt 4.2.7.1.1

Potenziere $w$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10} w}$

Schritt 4.2.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{10 + 1}}$

Schritt 4.2.7.2

Addiere $10$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = \sqrt[11]{w^{11}}$

Schritt 4.2.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\sqrt{w^{11}}) = w$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (w))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (w))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\sqrt[11]{w^{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{{(\sqrt[11]{w^{2}})}^{11}}$

Schritt 4.3.3

Schreibe ${\sqrt[11]{w^{2}}}^{11}$ als $w^{2}$ um.

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Schritt 4.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[11]{w^{2}}$ als $w^{\frac{2}{11}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{{(w^{\frac{2}{11}})}^{11}}$

Schritt 4.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{2}{11} \cdot 11}}$

Schritt 4.3.3.3

Kombiniere $\frac{2}{11}$ und $11$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{2 \cdot 11}{11}}}$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{22}{11}}}$

Schritt 4.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $11$ .

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Schritt 4.3.3.5.1

Faktorisiere $11$ aus $22$ heraus.

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{11 \cdot 2}{11}}}$

Schritt 4.3.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.5.2.1

Faktorisiere $11$ aus $11$ heraus.

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{11 \cdot 2}{11 (1)}}}$

Schritt 4.3.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{11 \cdot 2}{11 \cdot 1}}}$

Schritt 4.3.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{\frac{2}{1}}}$

Schritt 4.3.3.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = \sqrt{w^{2}}$

Schritt 4.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\sqrt[11]{w^{2}}) = w$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (w)) = w$ und $f (f^{- 1} (w)) = w$ gleich sind, ist $f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (w) = \sqrt{w^{11}}$ .

$f^{- 1} (w) = \sqrt[11]{w^{2}}$