Trigonometrie Beispiele

$2 \arccos (x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 2 \arccos (y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 \arccos (y) = x$ um.

$2 \arccos (y) = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \arccos (y) = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \arccos (y) = x$ durch $2$ .

$\frac{2 \arccos (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \arccos (y)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\arccos (y)$ durch $1$ .

$\arccos (y) = \frac{x}{2}$

Schritt 2.3

Wende den inversen Arcuskosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Arcuskosinus herauszuziehen.

$y = \cos (\frac{x}{2})$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \cos (\frac{x}{2})$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \cos (\frac{x}{2})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 \arccos (x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 \arccos (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \arccos (x)) = \cos (\frac{2 \arccos (x)}{2})$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \arccos (x)) = \cos (\frac{2 \arccos (x)}{2})$

Schritt 4.2.3.2

Dividiere $\arccos (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 \arccos (x)) = \cos (\arccos (x))$

Schritt 4.2.4

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f^{- 1} (2 \arccos (x)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\cos (\frac{x}{2}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\cos (\frac{x}{2})) = 2 \arccos (\cos (\frac{x}{2}))$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \cos (\frac{x}{2})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 \arccos (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \cos (\frac{x}{2})$