Trigonometrie Beispiele

$2 (3 + 6 x) + 14 x - 8$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 2 (3 + 6 y) + 14 y - 8$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 (3 + 6 y) + 14 y - 8 = x$ um.

$2 (3 + 6 y) + 14 y - 8 = x$

Schritt 2.2

Vereinfache $2 (3 + 6 y) + 14 y - 8$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 3 + 2 (6 y) + 14 y - 8 = x$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 + 2 (6 y) + 14 y - 8 = x$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$6 + 12 y + 14 y - 8 = x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $8$ von $6$ .

$12 y + 14 y - 2 = x$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $12 y$ und $14 y$ .

$26 y - 2 = x$

Schritt 2.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$26 y = x + 2$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $26 y = x + 2$ durch $26$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $26 y = x + 2$ durch $26$ .

$\frac{26 y}{26} = \frac{x}{26} + \frac{2}{26}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $26$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{26 y}{26} = \frac{x}{26} + \frac{2}{26}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{26} + \frac{2}{26}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $26$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{x}{26} + \frac{2 (1)}{26}$

Schritt 2.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$y = \frac{x}{26} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 13}$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x}{26} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 13}$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x}{26} + \frac{1}{13}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{26} + \frac{1}{13}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{26} + \frac{1}{13}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 (3 + 6 x) + 14 x - 8$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{2 (3 + 6 x) + 14 x - 8}{26} + \frac{1}{13}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 (3 + 6 x) + 14 x - 8$ und $26$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $14 x$ heraus.

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{2 (3 + 6 x) + 2 (7 x) - 8}{26} + \frac{1}{13}$

Schritt 4.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 + 6 x) + 2 (7 x)$ heraus.

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{2 (3 + 6 x + 7 x) - 8}{26} + \frac{1}{13}$

Schritt 4.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{2 (3 + 6 x + 7 x) + 2 \cdot - 4}{26} + \frac{1}{13}$

Schritt 4.2.3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 + 6 x + 7 x) + 2 \cdot - 4$ heraus.

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{2 (3 + 6 x + 7 x - 4)}{26} + \frac{1}{13}$

Schritt 4.2.3.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{2 (3 + 6 x + 7 x - 4)}{2 (13)} + \frac{1}{13}$

Schritt 4.2.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{2 (3 + 6 x + 7 x - 4)}{2 \cdot 13} + \frac{1}{13}$

Schritt 4.2.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{3 + 6 x + 7 x - 4}{13} + \frac{1}{13}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.2.1

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{6 x + 7 x - 1}{13} + \frac{1}{13}$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $6 x$ und $7 x$ .

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{13 x - 1}{13} + \frac{1}{13}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{13 x - 1 + 1}{13}$

Schritt 4.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $13 x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{13 x + 0}{13}$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $13 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{13 x}{13}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = \frac{13 x}{13}$

Schritt 4.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 (3 + 6 x) + 14 x - 8) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (3 + 6 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13})) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (3 + 6 (\frac{x}{26}) + 6 (\frac{1}{13})) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (3 + 2 (3) (\frac{x}{26}) + 6 (\frac{1}{13})) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (3 + 2 \cdot (3 (\frac{x}{2 \cdot 13})) + 6 (\frac{1}{13})) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (3 + 2 \cdot (3 (\frac{x}{2 \cdot 13})) + 6 (\frac{1}{13})) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (3 + 3 (\frac{x}{13}) + 6 (\frac{1}{13})) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{13}$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (3 + \frac{3 x}{13} + 6 (\frac{1}{13})) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.1.4

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{13}$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (3 + \frac{3 x}{13} + \frac{6}{13}) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{13}{13}$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (\frac{3 x}{13} + 3 \cdot \frac{13}{13} + \frac{6}{13}) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{13}{13}$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (\frac{3 x}{13} + \frac{3 \cdot 13}{13} + \frac{6}{13}) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (\frac{3 x}{13} + \frac{3 \cdot 13 + 6}{13}) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $13$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (\frac{3 x}{13} + \frac{39 + 6}{13}) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.5.2

Addiere $39$ und $6$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (\frac{3 x}{13} + \frac{45}{13}) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = 2 (\frac{3 x}{13}) + 2 (\frac{45}{13}) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.7

Multipliziere $2 \frac{3 x}{13}$ .

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Schritt 4.3.3.7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x}{13}$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = \frac{2 (3 x)}{13} + 2 (\frac{45}{13}) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = \frac{6 x}{13} + 2 (\frac{45}{13}) + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.8

Multipliziere $2 (\frac{45}{13})$ .

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Schritt 4.3.3.8.1

Kombiniere $2$ und $\frac{45}{13}$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = \frac{6 x}{13} + \frac{2 \cdot 45}{13} + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $45$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = \frac{6 x}{13} + \frac{90}{13} + 14 (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = \frac{6 x}{13} + \frac{90}{13} + 14 (\frac{x}{26}) + 14 (\frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.10.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = \frac{6 x}{13} + \frac{90}{13} + 2 (7) (\frac{x}{26}) + 14 (\frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.10.2

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = \frac{6 x}{13} + \frac{90}{13} + 2 \cdot (7 (\frac{x}{2 \cdot 13})) + 14 (\frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = \frac{6 x}{13} + \frac{90}{13} + 2 \cdot (7 (\frac{x}{2 \cdot 13})) + 14 (\frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.10.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = \frac{6 x}{13} + \frac{90}{13} + 7 (\frac{x}{13}) + 14 (\frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.11

Kombiniere $7$ und $\frac{x}{13}$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = \frac{6 x}{13} + \frac{90}{13} + \frac{7 x}{13} + 14 (\frac{1}{13}) - 8$

Schritt 4.3.3.12

Kombiniere $14$ und $\frac{1}{13}$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = \frac{6 x}{13} + \frac{90}{13} + \frac{7 x}{13} + \frac{14}{13} - 8$

Schritt 4.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = - 8 + \frac{6 x + 90 + 7 x + 14}{13}$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $6 x$ und $7 x$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = - 8 + \frac{13 x + 90 + 14}{13}$

Schritt 4.3.4.3

Addiere $90$ und $14$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = - 8 + \frac{13 x + 104}{13}$

Schritt 4.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $13 x + 104$ und $13$ .

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Schritt 4.3.4.4.1

Faktorisiere $13$ aus $13 x$ heraus.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = - 8 + \frac{13 (x) + 104}{13}$

Schritt 4.3.4.4.2

Faktorisiere $13$ aus $104$ heraus.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = - 8 + \frac{13 (x) + 13 \cdot 8}{13}$

Schritt 4.3.4.4.3

Faktorisiere $13$ aus $13 (x) + 13 (8)$ heraus.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = - 8 + \frac{13 (x + 8)}{13}$

Schritt 4.3.4.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.4.4.4.1

Faktorisiere $13$ aus $13$ heraus.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = - 8 + \frac{13 (x + 8)}{13 (1)}$

Schritt 4.3.4.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = - 8 + \frac{13 (x + 8)}{13 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = - 8 + \frac{x + 8}{1}$

Schritt 4.3.4.4.4.4

Dividiere $x + 8$ durch $1$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = - 8 + x + 8$

Schritt 4.3.4.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 8 + x + 8$ .

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Schritt 4.3.4.5.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{26} + \frac{1}{13}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{26} + \frac{1}{13}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 (3 + 6 x) + 14 x - 8$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{26} + \frac{1}{13}$