Trigonometrie Beispiele

$12 x - y = 15$

Schritt 1

Subtrahiere $12 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = 15 - 12 x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- y = 15 - 12 x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 15 - 12 x$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{15}{- 1} + \frac{- 12 x}{- 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{15}{- 1} + \frac{- 12 x}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{15}{- 1} + \frac{- 12 x}{- 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividiere $15$ durch $- 1$ .

$y = - 15 + \frac{- 12 x}{- 1}$

Schritt 2.3.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 12 x}{- 1}$ .

$y = - 15 - 1 \cdot (- 12 x)$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot (- 12 x)$ als $- (- 12 x)$ um.

$y = - 15 - (- 12 x)$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$y = - 15 + 12 x$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = - 15 + 12 y$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 15 + 12 y = x$ um.

$- 15 + 12 y = x$

Schritt 4.2

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 y = x + 15$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $12 y = x + 15$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 y = x + 15$ durch $12$ .

$\frac{12 y}{12} = \frac{x}{12} + \frac{15}{12}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 y}{12} = \frac{x}{12} + \frac{15}{12}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{12} + \frac{15}{12}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $12$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$y = \frac{x}{12} + \frac{3 (5)}{12}$

Schritt 4.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{x}{12} + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}$

Schritt 4.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x}{12} + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}$

Schritt 4.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$

Schritt 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 15 + 12 x$ ist.

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Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 15 + 12 x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 15 + 12 x) = \frac{- 15 + 12 x}{12} + \frac{5}{4}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15 + 12 x$ und $12$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$f^{- 1} (- 15 + 12 x) = \frac{3 (- 5) + 12 x}{12} + \frac{5}{4}$

Schritt 6.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $12 x$ heraus.

$f^{- 1} (- 15 + 12 x) = \frac{3 (- 5) + 3 (4 x)}{12} + \frac{5}{4}$

Schritt 6.2.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 5) + 3 (4 x)$ heraus.

$f^{- 1} (- 15 + 12 x) = \frac{3 (- 5 + 4 x)}{12} + \frac{5}{4}$

Schritt 6.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$f^{- 1} (- 15 + 12 x) = \frac{3 (- 5 + 4 x)}{3 \cdot 4} + \frac{5}{4}$

Schritt 6.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 15 + 12 x) = \frac{3 (- 5 + 4 x)}{3 \cdot 4} + \frac{5}{4}$

Schritt 6.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 15 + 12 x) = \frac{- 5 + 4 x}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- 15 + 12 x) = \frac{- 5 + 4 x + 5}{4}$

Schritt 6.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 5 + 4 x + 5$ .

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Schritt 6.2.5.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (- 15 + 12 x) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- 15 + 12 x) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 6.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 15 + 12 x) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 6.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 15 + 12 x) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (\frac{x}{12} + \frac{5}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{12} + \frac{5}{4}) = - 15 + 12 (\frac{x}{12} + \frac{5}{4})$

Schritt 6.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{12} + \frac{5}{4}) = - 15 + 12 (\frac{x}{12}) + 12 (\frac{5}{4})$

Schritt 6.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{12} + \frac{5}{4}) = - 15 + 12 (\frac{x}{12}) + 12 (\frac{5}{4})$

Schritt 6.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{12} + \frac{5}{4}) = - 15 + x + 12 (\frac{5}{4})$

Schritt 6.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f (\frac{x}{12} + \frac{5}{4}) = - 15 + x + 4 (3) (\frac{5}{4})$

Schritt 6.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{12} + \frac{5}{4}) = - 15 + x + 4 \cdot (3 (\frac{5}{4}))$

Schritt 6.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{12} + \frac{5}{4}) = - 15 + x + 3 \cdot 5$

Schritt 6.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (\frac{x}{12} + \frac{5}{4}) = - 15 + x + 15$

Schritt 6.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 15 + x + 15$ .

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Schritt 6.3.4.1

Addiere $- 15$ und $15$ .

$f (\frac{x}{12} + \frac{5}{4}) = x + 0$

Schritt 6.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{12} + \frac{5}{4}) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 15 + 12 x$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$