Trigonometrie Beispiele

$10 \cos (2 x) + 10$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 10 \cos (2 y) + 10$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $10 \cos (2 y) + 10 = x$ um.

$10 \cos (2 y) + 10 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 \cos (2 y) = x - 10$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $10 \cos (2 y) = x - 10$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 \cos (2 y) = x - 10$ durch $10$ .

$\frac{10 \cos (2 y)}{10} = \frac{x}{10} + \frac{- 10}{10}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \cos (2 y)}{10} = \frac{x}{10} + \frac{- 10}{10}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $\cos (2 y)$ durch $1$ .

$\cos (2 y) = \frac{x}{10} + \frac{- 10}{10}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $- 10$ durch $10$ .

$\cos (2 y) = \frac{x}{10} - 1$

Schritt 2.4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 y = \arccos (\frac{x}{10} - 1)$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arccos (\frac{x}{10} - 1)$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arccos (\frac{x}{10} - 1)$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 10 \cos (2 x) + 10$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 \cos (2 x) + 10}{10} - 1)}{2}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10 \cos (2 x) + 10$ und $10$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $10$ aus $10 \cos (2 x)$ heraus.

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x)) + 10}{10} - 1)}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x)) + 10 \cdot 1}{10} - 1)}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Faktorisiere $10$ aus $10 (\cos (2 x)) + 10 (1)$ heraus.

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x) + 1)}{10} - 1)}{2}$

Schritt 4.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.4.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x) + 1)}{10 (1)} - 1)}{2}$

Schritt 4.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{10 (\cos (2 x) + 1)}{10 \cdot 1} - 1)}{2}$

Schritt 4.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\frac{\cos (2 x) + 1}{1} - 1)}{2}$

Schritt 4.2.3.4.4

Dividiere $\cos (2 x) + 1$ durch $1$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\cos (2 x) + 1 - 1)}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (2 x) + 1 - 1$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\cos (2 x) + 0)}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $\cos (2 x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (10 \cos (2 x) + 10) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2})) + 10$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10})}{2})) + 10$

Schritt 4.3.3.1.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{10}{10}$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10})}{2})) + 10$

Schritt 4.3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x - 1 \cdot 10}{10})}{2})) + 10$

Schritt 4.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x - 10}{10})}{2})) + 10$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x - 10}{10})}{2})) + 10$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 \cos (\arccos (\frac{x - 10}{10})) + 10$

Schritt 4.3.3.3

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 (\frac{x - 10}{10}) + 10$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = 10 (\frac{x - 10}{10}) + 10$

Schritt 4.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = x - 10 + 10$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 10 + 10$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 10$ und $10$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 10 \cos (2 x) + 10$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{10} - 1)}{2}$