Trigonometrie Beispiele

$1 - \sec^{2} (x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 1 - \sec^{2} (y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $1 - \sec^{2} (y) = x$ um.

$1 - \sec^{2} (y) = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sec^{2} (y) = x - 1$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- \sec^{2} (y) = x - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sec^{2} (y) = x - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (y)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sec^{2} (y)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $\sec^{2} (y)$ durch $1$ .

$\sec^{2} (y) = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$\sec^{2} (y) = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$\sec^{2} (y) = - x + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\sec^{2} (y) = - x + 1$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (y) = \pm \sqrt{- x + 1}$

Schritt 2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$

Schritt 2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$

Schritt 2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$

Schritt 2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $y$ aufzulösen.

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$

$\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$

Schritt 2.7

Löse in $\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.7.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Sekans zu ziehen.

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

Schritt 2.8

Löse in $\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.8.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Sekans zu ziehen.

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Schritt 2.9

Liste alle Lösungen auf.

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ und $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

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Schritt 4.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[2, \infty)$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ .

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Schritt 4.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x + 1 \geq 0$

Schritt 4.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 1$

Schritt 4.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x \leq 1$

Schritt 4.3.3

Setze das Argument in $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ kleiner oder gleich $- 1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt{- x + 1} \leq - 1$

Schritt 4.3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{- x + 1}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x + 1}$ als ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.4.2.2.1

Vereinfache ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- x + 1)}^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.4.2.2.1.2

Vereinfache.

$- x + 1 \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.4.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- x + 1 \leq 1$

Schritt 4.3.4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.4.3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \leq 1 - 1$

Schritt 4.3.4.3.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- x \leq 0$

Schritt 4.3.4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.4.3.2.1

Teile jeden Term in $- x \leq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.4.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.4.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.4.3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x \geq 0$

Schritt 4.3.4.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{- x + 1} + 1$ .

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Schritt 4.3.4.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x + 1 \geq 0$

Schritt 4.3.4.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 1$

Schritt 4.3.4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.4.4.2.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.4.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.4.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.4.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x \leq 1$

Schritt 4.3.4.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1]$

Schritt 4.3.4.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 4.3.4.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 4.3.4.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 4.3.4.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{- (- 2) + 1} \leq - 1$

Schritt 4.3.4.6.1.3

Die linke Seite $1.7320508$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.3.4.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 4.3.4.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{- (0.5) + 1} \leq - 1$

Schritt 4.3.4.6.2.3

Die linke Seite $0.70710678$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.3.4.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.3.4.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 4.3.4.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{- (4) + 1} \leq - 1$

Schritt 4.3.4.6.3.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.3.4.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Falsch

Schritt 4.3.4.7

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 4.3.5

Setze das Argument in $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ größer oder gleich $1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt{- x + 1} \geq 1$

Schritt 4.3.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.6.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{- x + 1}}^{2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.6.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x + 1}$ als ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.2.2.1

Vereinfache ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.6.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.6.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- x + 1)}^{1} \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.6.2.2.1.2

Vereinfache.

$- x + 1 \geq 1^{2}$

Schritt 4.3.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.6.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- x + 1 \geq 1$

Schritt 4.3.6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.6.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.6.3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq 1 - 1$

Schritt 4.3.6.3.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- x \geq 0$

Schritt 4.3.6.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.6.3.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.6.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.6.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.6.3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x \leq 0$

Schritt 4.3.6.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{- x + 1} - 1$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x + 1 \geq 0$

Schritt 4.3.6.4.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 1$

Schritt 4.3.6.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.4.2.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.6.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.6.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.6.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.6.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x \leq 1$

Schritt 4.3.6.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1]$

Schritt 4.3.6.5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 0$

Schritt 4.3.7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1]$

Schritt 4.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ ist, ist $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ keine inverse Funktion von $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 5