Trigonometrie Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 20 x - 16 y + 100 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 16$ und $c = x^{2} - 20 x + 100$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 20 x + 100))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 20 x + 100)$ als ${(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 16$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x + 2 \cdot - 10) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x - 20) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.4

Subtrahiere $20$ von $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 36$ heraus.

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Schritt 3.1.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 (x) - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x + 2 \cdot - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 18$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x - 2 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5

Addiere $- 16$ und $20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 2 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 4$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 2 (2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (2)$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.8

Schreibe $4 (x - 18) (- x + 2)$ als $2^{2} ((x - 18) (- x + 2))$ um.

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Schritt 3.1.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.8.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((x - 18) (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 20 x + 100)$ als ${(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 16$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x + 2 \cdot - 10) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x - 20) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.4

Subtrahiere $20$ von $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 36$ heraus.

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Schritt 4.1.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 (x) - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x + 2 \cdot - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 18$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x - 2 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- 16$ und $20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 2 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 4$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 2 (2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (2)$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Schreibe $4 (x - 18) (- x + 2)$ als $2^{2} ((x - 18) (- x + 2))$ um.

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Schritt 4.1.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((x - 18) (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 20 x + 100)$ als ${(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (x - 10))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 16$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot 1 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 \cdot (x - 10)) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x + 2 \cdot - 10) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(- 16 + 2 x - 20) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.4

Subtrahiere $20$ von $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 36$ heraus.

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Schritt 5.1.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 (x) - 36) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{(2 x + 2 \cdot - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 18$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot 1 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.1.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - (2 \cdot (x - 10)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x - 2 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 10$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 16 - 2 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Addiere $- 16$ und $20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (- 2 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 4$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x) + 2 (2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (2)$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2 (x - 18) \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Schreibe $4 (x - 18) (- x + 2)$ als $2^{2} ((x - 18) (- x + 2))$ um.

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Schritt 5.1.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((x - 18) (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

$y = 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$

Schritt 7

Tausche die Variablen aus. Erstelle für jeden Ausdruck eine Gleichung.

$x = 8 + \sqrt{(y - 18) (- y + 2)}, x = 8 - \sqrt{(y - 18) (- y + 2)}$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $8 + \sqrt{(y - 18) (- y + 2)} = x$ um.

$8 + \sqrt{(y - 18) (- y + 2)} = x$

Schritt 8.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{(y - 18) (- y + 2)} = x - 8$

Schritt 8.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{(y - 18) (- y + 2)}}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 8.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(y - 18) (- y + 2)}$ als ${((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache ${({((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${((y - 18) (- y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${((y - 18) (- y + 2))}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2

Multipliziere $(y - 18) (- y + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(y (- y + 2) - 18 (- y + 2))}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(y (- y) + y \cdot 2 - 18 (- y + 2))}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(y (- y) + y \cdot 2 - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.4.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(- y \cdot y + y \cdot 2 - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.2.1.3.1.2.1

Bewege $y$ .

${(- (y \cdot y) + y \cdot 2 - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

${(- y^{2} + y \cdot 2 - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

${(- y^{2} + 2 \cdot y - 18 (- y) - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

${(- y^{2} + 2 y + 18 y - 18 \cdot 2)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 18$ mit $2$ .

${(- y^{2} + 2 y + 18 y - 36)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3.2

Addiere $2 y$ und $18 y$ .

${(- y^{2} + 20 y - 36)}^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.4

Vereinfache.

$- y^{2} + 20 y - 36 = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.3.1

Vereinfache ${(x - 8)}^{2}$ .

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Schritt 8.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 8)}^{2}$ als $(x - 8) (x - 8)$ um.

$- y^{2} + 20 y - 36 = (x - 8) (x - 8)$

Schritt 8.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 8) (x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y^{2} + 20 y - 36 = x (x - 8) - 8 (x - 8)$

Schritt 8.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- y^{2} + 20 y - 36 = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)$

Schritt 8.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y^{2} + 20 y - 36 = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Schritt 8.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Schritt 8.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $x$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8$

Schritt 8.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = x^{2} - 8 x - 8 x + 64$

Schritt 8.4.3.1.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 8 x$ .

$- y^{2} + 20 y - 36 = x^{2} - 16 x + 64$

Schritt 8.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.5.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 8.5.1.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.5.1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} + 20 y - 36 - x^{2} = - 16 x + 64$

Schritt 8.5.1.1.2

Addiere $16 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} + 20 y - 36 - x^{2} + 16 x = 64$

Schritt 8.5.1.1.3

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} + 20 y - 36 - x^{2} + 16 x - 64 = 0$

Schritt 8.5.1.2

Subtrahiere $64$ von $- 36$ .

$- y^{2} + 20 y - x^{2} + 16 x - 100 = 0$

Schritt 8.5.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.5.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 20$ und $c = - x^{2} + 16 x - 100$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4

Vereinfache.

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Schritt 8.5.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.4.1.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 (- x^{2}) + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 8.5.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.4.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 100$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x - 400}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.5

Subtrahiere $400$ von $400$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x + 0}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.6

Addiere $- 4 x^{2} + 64 x$ und $0$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.7

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{2} + 64 x$ heraus.

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Schritt 8.5.4.1.7.1

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.7.2

Faktorisiere $4 x$ aus $64 x$ heraus.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 4 x (16)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.7.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- x) + 4 x (16)$ heraus.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.8

Schreibe $4 x (- x + 16)$ als $2^{2} (x (- x + 4^{2}))$ um.

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Schritt 8.5.4.1.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.8.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} (x (- x + 4^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.10

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$

Schritt 8.5.4.3

Vereinfache $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$ .

$y = 10 \pm \sqrt{x (- x + 16)}$

Schritt 8.5.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.5.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.5.1.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 (- x^{2}) + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 8.5.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.4.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 100$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x - 400}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.5

Subtrahiere $400$ von $400$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x + 0}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.6

Addiere $- 4 x^{2} + 64 x$ und $0$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.7

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{2} + 64 x$ heraus.

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Schritt 8.5.5.1.7.1

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.7.2

Faktorisiere $4 x$ aus $64 x$ heraus.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 4 x (16)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.7.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- x) + 4 x (16)$ heraus.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.8

Schreibe $4 x (- x + 16)$ als $2^{2} (x (- x + 4^{2}))$ um.

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Schritt 8.5.5.1.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.8.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} (x (- x + 4^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.10

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$

Schritt 8.5.5.3

Vereinfache $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$ .

$y = 10 \pm \sqrt{x (- x + 16)}$

Schritt 8.5.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}$

Schritt 8.5.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.6.1.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 \cdot (- x^{2} + 16 x - 100)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 4 (- x^{2}) + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 8.5.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 4 (16 x) + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.4.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x + 4 \cdot - 100}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 100$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 x^{2} + 64 x - 400}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.5

Subtrahiere $400$ von $400$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x + 0}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.6

Addiere $- 4 x^{2} + 64 x$ und $0$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.7

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{2} + 64 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.6.1.7.1

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 64 x}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.7.2

Faktorisiere $4 x$ aus $64 x$ heraus.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x) + 4 x (16)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.7.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- x) + 4 x (16)$ heraus.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.8

Schreibe $4 x (- x + 16)$ als $2^{2} (x (- x + 4^{2}))$ um.

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Schritt 8.5.6.1.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.8.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} (x (- x + 4^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 4^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.10

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$

Schritt 8.5.6.3

Vereinfache $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{x (- x + 16)}}{- 2}$ .

$y = 10 \pm \sqrt{x (- x + 16)}$

Schritt 8.5.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

Schritt 8.5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}$

$y = 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

Schritt 9

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$

Schritt 10

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}, 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ ist.

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Schritt 10.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}, 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ und $f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$ und vergleiche sie.

Schritt 10.2

Finde den Wertebereich von $8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ .

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Schritt 10.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[8, 8]$

Schritt 10.3

Bestimme den Definitionsbereich von $10 + \sqrt{x (- x + 16)}$ .

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Schritt 10.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x (- x + 16)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (- x + 16) \geq 0$

Schritt 10.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.3.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$- x + 16 = 0$

Schritt 10.3.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 10.3.2.3

Setze $- x + 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.3.2.3.1

Setze $- x + 16$ gleich $0$ .

$- x + 16 = 0$

Schritt 10.3.2.3.2

Löse $- x + 16 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.3.2.3.2.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 16$

Schritt 10.3.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 16$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 10.3.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 16$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 10.3.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.3.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 10.3.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 10.3.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 16$ durch $- 1$ .

$x = 16$

Schritt 10.3.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (- x + 16) \geq 0$ wahr machen.

$x = 0, 16$

Schritt 10.3.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 16$

$x > 16$

Schritt 10.3.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.3.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 10.3.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) (- (- 2) + 16) \geq 0$

Schritt 10.3.2.6.1.3

Die linke Seite $- 36$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 16$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 16$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 10.3.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2) (- (2) + 16) \geq 0$

Schritt 10.3.2.6.2.3

Die linke Seite $28$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.3.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 16$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 16$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 18$

Schritt 10.3.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $18$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(18) (- (18) + 16) \geq 0$

Schritt 10.3.2.6.3.3

Die linke Seite $- 36$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 16$ Wahr

$x > 16$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 16$ Wahr

$x > 16$ Falsch

Schritt 10.3.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq 16$

Schritt 10.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, 16]$

Schritt 10.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}, 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = 10 + \sqrt{x (- x + 16)}, 10 - \sqrt{x (- x + 16)}$ keine inverse Funktion von $f (x) = 8 + \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}, 8 - \sqrt{(x - 18) (- x + 2)}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 11