Trigonometrie Beispiele

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 3 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = x^{2} + 4 x - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 3))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5

Addiere $36$ und $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.6.2.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2.1.2

Schreibe $- 4$ um als $2$ plus $- 6$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 6) x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 6 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $4 (- x + 2) (x + 6)$ als $2^{2} ((- x + 2) (x + 6))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Addiere $36$ und $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.2.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.1.2

Schreibe $- 4$ um als $2$ plus $- 6$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 6) x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 6 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $4 (- x + 2) (x + 6)$ als $2^{2} ((- x + 2) (x + 6))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Addiere $36$ und $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2} - 16 x + 48$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (12)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.2.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2.1.2

Schreibe $- 4$ um als $2$ plus $- 6$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (2 - 6) x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 2) + 6 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $4 (- x + 2) (x + 6)$ als $2^{2} ((- x + 2) (x + 6))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2) (x + 6))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

$y = 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$

Schritt 7

Tausche die Variablen aus. Erstelle für jeden Ausdruck eine Gleichung.

$x = 3 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}, x = 3 - \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $3 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)} = x$ um.

$3 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)} = x$

Schritt 8.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{(- y + 2) (y + 6)} = x - 3$

Schritt 8.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$ als ${((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1

Vereinfache ${({((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${((- y + 2) (y + 6))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${((- y + 2) (y + 6))}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2

Multipliziere $(- y + 2) (y + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(- y (y + 6) + 2 (y + 6))}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(- y \cdot y - y \cdot 6 + 2 (y + 6))}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(- y \cdot y - y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.3.1.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.3.1.1.1

Bewege $y$ .

${(- (y \cdot y) - y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

${(- y^{2} - y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

${(- y^{2} - 6 y + 2 y + 2 \cdot 6)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

${(- y^{2} - 6 y + 2 y + 12)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3.2

Addiere $- 6 y$ und $2 y$ .

${(- y^{2} - 4 y + 12)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.2.1.4

Vereinfache.

$- y^{2} - 4 y + 12 = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.3.1

Vereinfache ${(x - 3)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$- y^{2} - 4 y + 12 = (x - 3) (x - 3)$

Schritt 8.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y^{2} - 4 y + 12 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Schritt 8.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- y^{2} - 4 y + 12 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Schritt 8.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y^{2} - 4 y + 12 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 8.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 8.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 8.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Schritt 8.4.3.1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$- y^{2} - 4 y + 12 = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 8.5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.1.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} - 4 y + 12 - x^{2} = - 6 x + 9$

Schritt 8.5.1.1.2

Addiere $6 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} - 4 y + 12 - x^{2} + 6 x = 9$

Schritt 8.5.1.1.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} - 4 y + 12 - x^{2} + 6 x - 9 = 0$

Schritt 8.5.1.2

Subtrahiere $9$ von $12$ .

$- y^{2} - 4 y - x^{2} + 6 x + 3 = 0$

Schritt 8.5.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.5.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 4$ und $c = - x^{2} + 6 x + 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.4.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.4.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.4.1.2.1

Stelle $- 4$ und $- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.2.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 (4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.2.4

Schreibe $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ als $- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.3

Addiere $3$ und $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 7))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.4

Faktorisiere.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.5

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.4.1.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- ((- 4 (- x - 1)) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.6

Schreibe $4 (- x - 1) (x - 7)$ als $2^{2} ((- x - 1) (x - 7))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.4.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.6.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$

Schritt 8.5.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$

Schritt 8.5.4.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Schritt 8.5.4.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ als $- (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ um.

$y = - (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Schritt 8.5.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.5.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.5.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.5.1.2.1

Stelle $- 4$ und $- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.2.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 (4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.2.4

Schreibe $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ als $- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.3

Addiere $3$ und $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 7))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.4

Faktorisiere.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.5

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.5.1.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- ((- 4 (- x - 1)) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.6

Schreibe $4 (- x - 1) (x - 7)$ als $2^{2} ((- x - 1) (x - 7))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.5.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.6.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$

Schritt 8.5.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$

Schritt 8.5.5.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Schritt 8.5.5.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ als $- (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ um.

$y = - (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Schritt 8.5.5.6

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - (2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Schritt 8.5.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Schritt 8.5.5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Schritt 8.5.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.6.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.6.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 - 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.6.1.2.1

Stelle $- 4$ und $- 1 \cdot (- x^{2} + 6 x + 3)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.2.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3) - 1 (4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.2.4

Schreibe $- 1 (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ als $- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 3 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.3

Addiere $3$ und $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (- x^{2} + 6 x + 7))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.4

Faktorisiere.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.5

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.6.1.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- ((- 4 (- x - 1)) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.6

Schreibe $4 (- x - 1) (x - 7)$ als $2^{2} ((- x - 1) (x - 7))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.6.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.6.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x - 7))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$

Schritt 8.5.6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$

Schritt 8.5.6.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Schritt 8.5.6.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ als $- (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$ um.

$y = - (2 \pm \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Schritt 8.5.6.6

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - (2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)})$

Schritt 8.5.6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Schritt 8.5.6.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Schritt 8.5.6.9

Multipliziere $- - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.6.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - 2 + 1 \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Schritt 8.5.6.9.2

Mutltipliziere $\sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ mit $1$ .

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Schritt 8.5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

$y = - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Schritt 9

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$

Schritt 10

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ und $f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ und vergleiche sie.

Schritt 10.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Finde den Wertebereich von $3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[3, 7]$

Schritt 10.2.2

Finde den Wertebereich von $3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 1, 3]$

Schritt 10.2.3

Finde die Union (Vereinigung) von $[3, 7], [- 1, 3]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

$[- 1, 7]$

Schritt 10.3

Bestimme den Definitionsbereich von $- 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- x - 1) (x - 7) \geq 0$

Schritt 10.3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- x - 1 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 10.3.2.2

Setze $- x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.2.1

Setze $- x - 1$ gleich $0$ .

$- x - 1 = 0$

Schritt 10.3.2.2.2

Löse $- x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 1$

Schritt 10.3.2.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 10.3.2.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 10.3.2.2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Schritt 10.3.2.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.2.2.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x = - 1$

Schritt 10.3.2.3

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.3.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 10.3.2.3.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 10.3.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- x - 1) (x - 7) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 1, 7$

Schritt 10.3.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 10.3.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.3.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- (- 4) - 1) ((- 4) - 7) \geq 0$

Schritt 10.3.2.6.1.3

Die linke Seite $- 33$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.3.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- (0) - 1) ((0) - 7) \geq 0$

Schritt 10.3.2.6.2.3

Die linke Seite $7$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 10.3.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- (10) - 1) ((10) - 7) \geq 0$

Schritt 10.3.2.6.3.3

Die linke Seite $- 33$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

Schritt 10.3.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 \leq x \leq 7$

Schritt 10.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 1, 7]$

Schritt 10.4

Bestimme den Definitionsbereich von $3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- x + 2) (x + 6) \geq 0$

Schritt 10.4.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 10.4.2.2

Setze $- x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.2.1

Setze $- x + 2$ gleich $0$ .

$- x + 2 = 0$

Schritt 10.4.2.2.2

Löse $- x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.2.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 10.4.2.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 10.4.2.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 10.4.2.2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 10.4.2.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.2.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 10.4.2.3

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.3.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 10.4.2.3.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 10.4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- x + 2) (x + 6) \geq 0$ wahr machen.

$x = 2, - 6$

Schritt 10.4.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 10.4.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 10.4.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- (- 8) + 2) ((- 8) + 6) \geq 0$

Schritt 10.4.2.6.1.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.4.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- (0) + 2) ((0) + 6) \geq 0$

Schritt 10.4.2.6.2.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 10.4.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- (4) + 2) ((4) + 6) \geq 0$

Schritt 10.4.2.6.3.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 10.4.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 6 \leq x \leq 2$

Schritt 10.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 6, 2]$

Schritt 10.5

Finde den Wertebereich von $- 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 2, - 2]$

Schritt 10.6

Da die Wertebereich von $f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ nicht gleich dem Definitionsbereich von $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = - 2 - \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}, - 2 + \sqrt{(- x - 1) (x - 7)}$ keine Umkehrung von $f (x) = 3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}, 3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 6)}$ .#

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 11