Trigonometrie Beispiele

$\frac{x}{8 x - 9}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y}{8 y - 9}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere die Gleichung mit $8 y - 9$ .

$(8 y - 9) (x) = (\frac{y}{8 y - 9}) (8 y - 9)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 y x - 9 x = (\frac{y}{8 y - 9}) (8 y - 9)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 y - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 y x - 9 x = \frac{y}{8 y - 9} (8 y - 9)$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$8 y x - 9 x = y$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y x - 9 x - y = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $9 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 y x - y = 9 x$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $8 y x - y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $8 y x$ heraus.

$y (8 x) - y = 9 x$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y (8 x) + y \cdot - 1 = 9 x$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (8 x) + y \cdot - 1$ heraus.

$y (8 x - 1) = 9 x$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (8 x - 1) = 9 x$ durch $8 x - 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (8 x - 1) = 9 x$ durch $8 x - 1$ .

$\frac{y (8 x - 1)}{8 x - 1} = \frac{9 x}{8 x - 1}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (8 x - 1)}{8 x - 1} = \frac{9 x}{8 x - 1}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{9 x}{8 x - 1}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x}{8 x - 9}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 (\frac{x}{8 x - 9})}{8 (\frac{x}{8 x - 9}) - 1}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $9$ und $\frac{x}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{8 (\frac{x}{8 x - 9}) - 1}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Kombiniere $8$ und $\frac{x}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x}{8 x - 9} - 1}$

Schritt 4.2.4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8 x - 9}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x}{8 x - 9} - 1 \cdot \frac{8 x - 9}{8 x - 9}}$

Schritt 4.2.4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{8 x - 9}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x}{8 x - 9} + \frac{- (8 x - 9)}{8 x - 9}}$

Schritt 4.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - (8 x - 9)}{8 x - 9}}$

Schritt 4.2.4.5

Schreibe $\frac{8 x - (8 x - 9)}{8 x - 9}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - (8 x) + 9}{8 x - 9}}$

Schritt 4.2.4.5.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - 8 x + 9}{8 x - 9}}$

Schritt 4.2.4.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - 8 x + 9}{8 x - 9}}$

Schritt 4.2.4.5.4

Subtrahiere $8 x$ von $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{0 + 9}{8 x - 9}}$

Schritt 4.2.4.5.5

Addiere $0$ und $9$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{9}{8 x - 9}}$

Schritt 4.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 x}{8 x - 9} \cdot \frac{8 x - 9}{9}$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 (x)}{8 x - 9} \cdot \frac{8 x - 9}{9}$

Schritt 4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 x}{8 x - 9} \cdot \frac{8 x - 9}{9}$

Schritt 4.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{x}{8 x - 9} \cdot (8 x - 9)$

Schritt 4.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 x - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{x}{8 x - 9} \cdot (8 x - 9)$

Schritt 4.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{9 x}{8 x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 1}}{8 (\frac{9 x}{8 x - 1}) - 9}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{8 (\frac{9 x}{8 x - 1}) - 9}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Multipliziere $8 \frac{9 x}{8 x - 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1.1

Kombiniere $8$ und $\frac{9 x}{8 x - 1}$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{8 (9 x)}{8 x - 1} - 9}$

Schritt 4.3.4.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $8$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{8 x - 1} - 9}$

Schritt 4.3.4.2

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8 x - 1}{8 x - 1}$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{8 x - 1} - 9 \cdot \frac{8 x - 1}{8 x - 1}}$

Schritt 4.3.4.3

Kombiniere $- 9$ und $\frac{8 x - 1}{8 x - 1}$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{8 x - 1} + \frac{- 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}}$

Schritt 4.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x - 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}}$

Schritt 4.3.4.5

Schreibe $\frac{72 x - 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.5.1

Faktorisiere $9$ aus $72 x - 9 (8 x - 1)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.5.1.1

Faktorisiere $9$ aus $72 x$ heraus.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x) - 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}}$

Schritt 4.3.4.5.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 9 (8 x - 1)$ heraus.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x) + 9 (- (8 x - 1))}{8 x - 1}}$

Schritt 4.3.4.5.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (8 x) + 9 (- (8 x - 1))$ heraus.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - (8 x - 1))}{8 x - 1}}$

Schritt 4.3.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - (8 x) + 1)}{8 x - 1}}$

Schritt 4.3.4.5.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - 8 x + 1)}{8 x - 1}}$

Schritt 4.3.4.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - 8 x + 1)}{8 x - 1}}$

Schritt 4.3.4.5.5

Subtrahiere $8 x$ von $8 x$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (0 + 1)}{8 x - 1}}$

Schritt 4.3.4.5.6

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 \cdot 1}{8 x - 1}}$

Schritt 4.3.4.6

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9}{8 x - 1}}$

Schritt 4.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot (1 (\frac{8 x - 1}{9}))$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $\frac{8 x - 1}{9}$ mit $1$ .

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{8 x - 1}{9}$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 (x)}{8 x - 1} \cdot \frac{8 x - 1}{9}$

Schritt 4.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{8 x - 1}{9}$

Schritt 4.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{x}{8 x - 1} \cdot (8 x - 1)$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{x}{8 x - 1} \cdot (8 x - 1)$

Schritt 4.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x}{8 x - 9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$