Trigonometrie Beispiele

$\frac{x}{8 - 9 x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y}{8 - 9 y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y}{8 - 9 y} = x$ um.

$\frac{y}{8 - 9 y} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$8 - 9 y, 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$8 - 9 y, 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$8 - 9 y$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y}{8 - 9 y} = x$ mit $8 - 9 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y}{8 - 9 y} = x$ mit $8 - 9 y$ .

$\frac{y}{8 - 9 y} (8 - 9 y) = x (8 - 9 y)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 - 9 y$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{8 - 9 y} (8 - 9 y) = x (8 - 9 y)$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = x (8 - 9 y)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot 8 + x (- 9 y)$

Schritt 2.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 2.3.3.2.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = 8 \cdot x + x (- 9 y)$

Schritt 2.3.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = 8 x - 9 x y$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Addiere $9 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y + 9 x y = 8 x$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $y$ aus $y + 9 x y$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 + 9 x y = 8 x$

Schritt 2.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $9 x y$ heraus.

$y \cdot 1 + y (9 x) = 8 x$

Schritt 2.4.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (9 x)$ heraus.

$y (1 + 9 x) = 8 x$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y (1 + 9 x) = 8 x$ durch $1 + 9 x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (1 + 9 x) = 8 x$ durch $1 + 9 x$ .

$\frac{y (1 + 9 x)}{1 + 9 x} = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 9 x$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 + 9 x)}{1 + 9 x} = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x}{8 - 9 x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 (\frac{x}{8 - 9 x})}{1 + 9 (\frac{x}{8 - 9 x})}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $8$ und $\frac{x}{8 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{1 + 9 (\frac{x}{8 - 9 x})}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.1

Kombiniere $9$ und $\frac{x}{8 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{1 + \frac{9 x}{8 - 9 x}}$

Schritt 4.2.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8 - 9 x}{8 - 9 x} + \frac{9 x}{8 - 9 x}}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8 - 9 x + 9 x}{8 - 9 x}}$

Schritt 4.2.4.4

Schreibe $\frac{8 - 9 x + 9 x}{8 - 9 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.4.4.1

Addiere $- 9 x$ und $9 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8 + 0}{8 - 9 x}}$

Schritt 4.2.4.4.2

Addiere $8$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{8 - 9 x}}{\frac{8}{8 - 9 x}}$

Schritt 4.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 x}{8 - 9 x} \cdot \frac{8 - 9 x}{8}$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.6.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 (x)}{8 - 9 x} \cdot \frac{8 - 9 x}{8}$

Schritt 4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{8 x}{8 - 9 x} \cdot \frac{8 - 9 x}{8}$

Schritt 4.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{x}{8 - 9 x} \cdot (8 - 9 x)$

Schritt 4.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 - 9 x$ .

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Schritt 4.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = \frac{x}{8 - 9 x} \cdot (8 - 9 x)$

Schritt 4.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x}{8 - 9 x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{8 x}{1 + 9 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{\frac{8 x}{1 + 9 x}}{8 - 9 \frac{8 x}{1 + 9 x}}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 - 9 \frac{8 x}{1 + 9 x}}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Multipliziere $- 9 \frac{8 x}{1 + 9 x}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{8 x}{1 + 9 x}$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 + \frac{- 9 (8 x)}{1 + 9 x}}$

Schritt 4.3.4.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 9$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 + \frac{- 72 x}{1 + 9 x}}$

Schritt 4.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{8 - \frac{72 x}{1 + 9 x}}$

Schritt 4.3.4.3

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + 9 x}{1 + 9 x}$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x)}{1 + 9 x} - \frac{72 x}{1 + 9 x}}$

Schritt 4.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x) - 72 x}{1 + 9 x}}$

Schritt 4.3.4.5

Schreibe $\frac{8 (1 + 9 x) - 72 x}{1 + 9 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.4.5.1

Faktorisiere $8$ aus $8 (1 + 9 x) - 72 x$ heraus.

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Schritt 4.3.4.5.1.1

Faktorisiere $8$ aus $- 72 x$ heraus.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x) + 8 (- 9 x)}{1 + 9 x}}$

Schritt 4.3.4.5.1.2

Faktorisiere $8$ aus $8 (1 + 9 x) + 8 (- 9 x)$ heraus.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 9 x - 9 x)}{1 + 9 x}}$

Schritt 4.3.4.5.2

Subtrahiere $9 x$ von $9 x$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (1 + 0)}{1 + 9 x}}$

Schritt 4.3.4.5.3

Addiere $1$ und $0$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8 \cdot 1}{1 + 9 x}}$

Schritt 4.3.4.6

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1}{\frac{8}{1 + 9 x}}$

Schritt 4.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot (1 (\frac{1 + 9 x}{8}))$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $\frac{1 + 9 x}{8}$ mit $1$ .

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1 + 9 x}{8}$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.7.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 (x)}{1 + 9 x} \cdot \frac{1 + 9 x}{8}$

Schritt 4.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{8 x}{1 + 9 x} \cdot \frac{1 + 9 x}{8}$

Schritt 4.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{x}{1 + 9 x} \cdot (1 + 9 x)$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 9 x$ .

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Schritt 4.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = \frac{x}{1 + 9 x} \cdot (1 + 9 x)$

Schritt 4.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{8 x}{1 + 9 x}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x}{8 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 + 9 x}$