Trigonometrie Beispiele

$\sqrt[5]{2 x^{2}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[5]{2 y^{2}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[5]{2 y^{2}} = x$ um.

$\sqrt[5]{2 y^{2}} = x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $5$ . Potenz.

${\sqrt[5]{2 y^{2}}}^{5} = x^{5}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{2 y^{2}}$ als ${(2 y^{2})}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

${({(2 y^{2})}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(2 y^{2})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 y^{2})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y^{2})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 y^{2})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 y^{2})}^{1} = x^{5}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$2 y^{2} = x^{5}$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = x^{5}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = x^{5}$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{5}}{2}$

Schritt 2.4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{5}}{2}$

Schritt 2.4.1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{5}}{2}$

Schritt 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{5}}{2}}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x^{5}}{2}}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{x^{5}}{2}}$ als $\frac{\sqrt{x^{5}}}{\sqrt{2}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{5}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.3.2.1

Schreibe $x^{5}$ als ${(x^{2})}^{2} x$ um.

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} x}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{{(x^{2})}^{2} x}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.3.3

Mutltipliziere $\frac{x^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.3.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.3.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.4.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.4.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{x} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.3.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

Schritt 2.4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

Schritt 2.4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

Schritt 2.4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

$y = - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ .

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Schritt 4.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x \geq 0$

Schritt 4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x \geq 0$

Schritt 4.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 4.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ .

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Schritt 4.4.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$ der Wertebereich von $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$ der Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$ die inverse Funktion von $f (x) = \sqrt[5]{2 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}, - \frac{x^{2} \sqrt{2 x}}{2}$

Schritt 5