Trigonometrie Beispiele

$\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{1 + \tan (y)}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$ um.

$\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{1 + \tan (y)}}^{3} = x^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{1 + \tan (y)}$ als ${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + \tan (y))}^{1} = x^{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$1 + \tan (y) = x^{3}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (y) = x^{3} - 1$

Schritt 2.5

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (x^{3} - 1)$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(\sqrt[3]{1 + \tan (x)})}^{3} - 1)$

Schritt 4.2.3

Schreibe ${\sqrt[3]{1 + \tan (x)}}^{3}$ als $1 + \tan (x)$ um.

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Schritt 4.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ als ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1)$

Schritt 4.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1)$

Schritt 4.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

Schritt 4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

Schritt 4.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ((1 + \tan (x)) - 1)$

Schritt 4.2.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (1 + \tan (x) - 1)$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + \tan (x) - 1$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (0 + \tan (x))$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $0$ und $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (\tan (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arctan (x^{3} - 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + \tan (\arctan (x^{3} - 1))}$

Schritt 4.3.3

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + x^{3} - 1}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Schritt 4.3.5

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 4.3.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$