Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{7 + 4 x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{7 + 4 y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{7 + 4 y} = x$ um.

$\sqrt{7 + 4 y} = x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{7 + 4 y}}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 + 4 y}$ als ${(7 + 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(7 + 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(7 + 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 + 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 + 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(7 + 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(7 + 4 y)}^{1} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$7 + 4 y = x^{2}$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = x^{2} - 7$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} - 7$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} - 7$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 7}{4}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 7}{4}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 7}{4}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{7 + 4 x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{{(\sqrt{7 + 4 x})}^{2}}{4} - \frac{7}{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{{(\sqrt{7 + 4 x})}^{2} - 7}{4}$

Schritt 4.2.4

Schreibe ${\sqrt{7 + 4 x}}^{2}$ als $7 + 4 x$ um.

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Schritt 4.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 + 4 x}$ als ${(7 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{{({(7 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7}{4}$

Schritt 4.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{{(7 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 7}{4}$

Schritt 4.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{{(7 + 4 x)}^{\frac{2}{2}} - 7}{4}$

Schritt 4.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{{(7 + 4 x)}^{\frac{2}{2}} - 7}{4}$

Schritt 4.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{(7 + 4 x) - 7}{4}$

Schritt 4.2.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{7 + 4 x - 7}{4}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $7 + 4 x - 7$ .

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Schritt 4.2.5.1.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 4.2.5.1.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 + 4 x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + 4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4})}$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (- \frac{7}{4})}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (- \frac{7}{4})}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + x^{2} + 4 (- \frac{7}{4})}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{4}$ in den Zähler.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + x^{2} + 4 (\frac{- 7}{4})}$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + x^{2} + 4 (\frac{- 7}{4})}$

Schritt 4.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{7 + x^{2} - 7}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.3.6.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Schritt 4.3.6.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 4.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{7 + 4 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{7}{4}$