Trigonometrie Beispiele

$- \frac{x + 4}{3 x - 5}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{y + 4}{3 y - 5}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Gleichung mit $3 y - 5$ .

$(3 y - 5) (x) = (- \frac{y + 4}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y x - 5 x = (- \frac{y + 4}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $(- \frac{y + 4}{3 y - 5}) (3 y - 5)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 5$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y + 4}{3 y - 5}$ in den Zähler.

$3 y x - 5 x = \frac{- (y + 4)}{3 y - 5} (3 y - 5)$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y x - 5 x = \frac{- (y + 4)}{3 y - 5} (3 y - 5)$

Schritt 2.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 y x - 5 x = - (y + 4)$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y x - 5 x = - y - 1 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$3 y x - 5 x = - y - 4$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x - 5 x + y = - 4$

Schritt 2.4.2

Addiere $5 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x + y = - 4 + 5 x$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $3 y x + y$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y x$ heraus.

$y (3 x) + y = - 4 + 5 x$

Schritt 2.4.3.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y (3 x) + y = - 4 + 5 x$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y (3 x) + y \cdot 1 = - 4 + 5 x$

Schritt 2.4.3.4

Faktorisiere $y$ aus $y (3 x) + y \cdot 1$ heraus.

$y (3 x + 1) = - 4 + 5 x$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (3 x + 1) = - 4 + 5 x$ durch $3 x + 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (3 x + 1) = - 4 + 5 x$ durch $3 x + 1$ .

$\frac{y (3 x + 1)}{3 x + 1} = \frac{- 4}{3 x + 1} + \frac{5 x}{3 x + 1}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 1$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 x + 1)}{3 x + 1} = \frac{- 4}{3 x + 1} + \frac{5 x}{3 x + 1}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 4}{3 x + 1} + \frac{5 x}{3 x + 1}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 4 + 5 x}{3 x + 1}$

Schritt 2.4.4.3.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \frac{- 1 (4) + 5 x}{3 x + 1}$

Schritt 2.4.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $5 x$ heraus.

$y = \frac{- 1 (4) - (- 5 x)}{3 x + 1}$

Schritt 2.4.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - (- 5 x)$ heraus.

$y = \frac{- 1 (4 - 5 x)}{3 x + 1}$

Schritt 2.4.4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{x + 4}{3 x - 5}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{4 - 5 (- \frac{x + 4}{3 x - 5})}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Multipliziere $- 5 (- \frac{x + 4}{3 x - 5})$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{4 + 5 (\frac{x + 4}{3 x - 5})}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kombiniere $5$ und $\frac{x + 4}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{4 + \frac{5 (x + 4)}{3 x - 5}}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.3.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{4 (3 x - 5)}{3 x - 5} + \frac{5 (x + 4)}{3 x - 5}}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{4 (3 x - 5) + 5 (x + 4)}{3 x - 5}}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.3.4

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{5 (x + 4) + 4 (3 x - 5)}{3 x - 5}}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.3.5

Schreibe $\frac{5 (x + 4) + 4 (3 x - 5)}{3 x - 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{5 x + 5 \cdot 4 + 4 (3 x - 5)}{3 x - 5}}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.3.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{5 x + 20 + 4 (3 x - 5)}{3 x - 5}}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{5 x + 20 + 4 (3 x) + 4 \cdot - 5}{3 x - 5}}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.3.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{5 x + 20 + 12 x + 4 \cdot - 5}{3 x - 5}}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.3.5.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{5 x + 20 + 12 x - 20}{3 x - 5}}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.3.5.6

Addiere $5 x$ und $12 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x + 20 - 20}{3 x - 5}}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.3.5.7

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x + 0}{3 x - 5}}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.3.5.8

Addiere $17 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x}{3 x - 5}}{3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) + 1}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.1

Multipliziere $3 (- \frac{x + 4}{3 x - 5})$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x}{3 x - 5}}{- 3 \frac{x + 4}{3 x - 5} + 1}$

Schritt 4.2.4.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x + 4}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x}{3 x - 5}}{\frac{- 3 (x + 4)}{3 x - 5} + 1}$

Schritt 4.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x}{3 x - 5}}{- \frac{3 (x + 4)}{3 x - 5} + 1}$

Schritt 4.2.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x}{3 x - 5}}{- \frac{3 (x + 4)}{3 x - 5} + \frac{3 x - 5}{3 x - 5}}$

Schritt 4.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x}{3 x - 5}}{\frac{- 3 (x + 4) + 3 x - 5}{3 x - 5}}$

Schritt 4.2.4.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x}{3 x - 5}}{\frac{3 x - 5 - 3 (x + 4)}{3 x - 5}}$

Schritt 4.2.4.6

Schreibe $\frac{3 x - 5 - 3 (x + 4)}{3 x - 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x}{3 x - 5}}{\frac{3 x - 5 - 3 x - 3 \cdot 4}{3 x - 5}}$

Schritt 4.2.4.6.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x}{3 x - 5}}{\frac{3 x - 5 - 3 x - 12}{3 x - 5}}$

Schritt 4.2.4.6.3

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x}{3 x - 5}}{\frac{0 - 5 - 12}{3 x - 5}}$

Schritt 4.2.4.6.4

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x}{3 x - 5}}{\frac{- 5 - 12}{3 x - 5}}$

Schritt 4.2.4.6.5

Subtrahiere $12$ von $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x}{3 x - 5}}{\frac{- 17}{3 x - 5}}$

Schritt 4.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - \frac{\frac{17 x}{3 x - 5}}{- \frac{17}{3 x - 5}}$

Schritt 4.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - (\frac{17 x}{3 x - 5} \cdot (- \frac{3 x - 5}{17}))$

Schritt 4.2.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - (- \frac{17 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{17})$

Schritt 4.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 4.2.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{17 x}{3 x - 5}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - (\frac{- 17 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{17})$

Schritt 4.2.7.2

Faktorisiere $17$ aus $- 17 x$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - (\frac{17 (- x)}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{17})$

Schritt 4.2.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - (\frac{17 (- x)}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{17})$

Schritt 4.2.7.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - (\frac{- x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5))$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 5$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = - (\frac{- x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5))$

Schritt 4.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{x + 4}{3 x - 5}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{(- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) + 4}{3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) - 5}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $3 x + 1$ .

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1} + 4}{3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) - 5}$ mit $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - (\frac{3 x + 1}{3 x + 1} \cdot \frac{- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1} + 4}{3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) - 5})$

Schritt 4.3.3.2

Kombinieren.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{(3 x + 1) (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1} + 4)}{(3 x + 1) (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) - 5)}$

Schritt 4.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{(3 x + 1) (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 4}{(3 x + 1) (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 1$ .

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Schritt 4.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{(3 x + 1) (\frac{- (4 - 5 x)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 4}{(3 x + 1) (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{(3 x + 1) (\frac{- (4 - 5 x)}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot 4}{(3 x + 1) (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

Schritt 4.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{- (4 - 5 x) + (3 x + 1) \cdot 4}{(3 x + 1) (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{- 1 \cdot 4 - (- 5 x) + (3 x + 1) \cdot 4}{(3 x + 1) \cdot (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

Schritt 4.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{- 4 - (- 5 x) + (3 x + 1) \cdot 4}{(3 x + 1) \cdot (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

Schritt 4.3.6.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{- 4 + 5 x + (3 x + 1) \cdot 4}{(3 x + 1) \cdot (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

Schritt 4.3.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{- 4 + 5 x + 3 x \cdot 4 + 1 \cdot 4}{(3 x + 1) \cdot (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

Schritt 4.3.6.5

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{- 4 + 5 x + 12 x + 1 \cdot 4}{(3 x + 1) \cdot (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

Schritt 4.3.6.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{- 4 + 5 x + 12 x + 4}{(3 x + 1) \cdot (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

Schritt 4.3.6.7

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{5 x + 12 x + 0}{(3 x + 1) \cdot (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

Schritt 4.3.6.8

Addiere $5 x + 12 x$ und $0$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{5 x + 12 x}{(3 x + 1) \cdot (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

Schritt 4.3.6.9

Addiere $5 x$ und $12 x$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) \cdot (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) \cdot - 5}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.7.1

Faktorisiere $3 x + 1$ aus $(3 x + 1) \cdot 3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) + (3 x + 1) \cdot - 5$ heraus.

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Schritt 4.3.7.1.1

Faktorisiere $3 x + 1$ aus $(3 x + 1) \cdot - 5$ heraus.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) (- 5)}$

Schritt 4.3.7.1.2

Faktorisiere $3 x + 1$ aus $(3 x + 1) (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})) + (3 x + 1) (- 5)$ heraus.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) - 5)}$

Schritt 4.3.7.2

Multipliziere $3 (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1})$ .

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Schritt 4.3.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (- 3 \frac{4 - 5 x}{3 x + 1} - 5)}$

Schritt 4.3.7.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4 - 5 x}{3 x + 1}$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- 3 (4 - 5 x)}{3 x + 1} - 5)}$

Schritt 4.3.7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (- \frac{3 (4 - 5 x)}{3 x + 1} - 5)}$

Schritt 4.3.7.4

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (- \frac{3 (4 - 5 x)}{3 x + 1} - 5 \cdot \frac{3 x + 1}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (- \frac{3 (4 - 5 x)}{3 x + 1} + \frac{- 5 (3 x + 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- 3 (4 - 5 x) - 5 (3 x + 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.7

Schreibe $\frac{- 3 (4 - 5 x) - 5 (3 x + 1)}{3 x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.7.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 (4 - 5 x) - 5 (3 x + 1)$ heraus.

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Schritt 4.3.7.7.1.1

Stelle $4$ und $- 5 x$ um.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- 3 (- 5 x + 4) - 5 (3 x + 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 (- 5 x + 4)$ heraus.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- (3 (- 5 x + 4)) - 5 (3 x + 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.7.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 (3 x + 1)$ heraus.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- (3 (- 5 x + 4)) - (5 (3 x + 1))}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.7.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 (- 5 x + 4)) - (5 (3 x + 1))$ heraus.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- (3 (- 5 x + 4) + 5 (3 x + 1))}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- (3 (- 5 x) + 3 \cdot 4 + 5 (3 x + 1))}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.7.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- (- 15 x + 3 \cdot 4 + 5 (3 x + 1))}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- (- 15 x + 12 + 5 (3 x + 1))}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- (- 15 x + 12 + 5 (3 x) + 5 \cdot 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.7.6

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- (- 15 x + 12 + 15 x + 5 \cdot 1)}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.7.7

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- (- 15 x + 12 + 15 x + 5)}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.7.8

Addiere $- 15 x$ und $15 x$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- (0 + 12 + 5)}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.7.9

Addiere $0$ und $12$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- (12 + 5)}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.7.10

Addiere $12$ und $5$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- 1 \cdot 17}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $17$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) (\frac{- 17}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{(3 x + 1) \cdot (- 1 \frac{17}{3 x + 1})}$

Schritt 4.3.7.10

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{17 x}{- (3 x + 1) \frac{17}{3 x + 1}}$

Schritt 4.3.8

Faktorisiere $\frac{17}{3 x + 1}$ aus $\frac{17 x}{- (3 x + 1) \frac{17}{3 x + 1}}$ heraus.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - (\frac{3 x + 1}{17} \cdot \frac{17 x}{- (3 x + 1)})$

Schritt 4.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 1$ .

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Schritt 4.3.9.1

Faktorisiere $3 x + 1$ aus $- (3 x + 1)$ heraus.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - (\frac{3 x + 1}{17} \cdot \frac{17 x}{(3 x + 1) \cdot - 1})$

Schritt 4.3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - (\frac{3 x + 1}{17} \cdot \frac{17 x}{(3 x + 1) \cdot - 1})$

Schritt 4.3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - (\frac{1}{17} \cdot \frac{17 x}{- 1})$

Schritt 4.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 4.3.10.1

Faktorisiere $17$ aus $17 x$ heraus.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - (\frac{1}{17} \cdot \frac{17 (x)}{- 1})$

Schritt 4.3.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - (\frac{1}{17} \cdot \frac{17 x}{- 1})$

Schritt 4.3.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - \frac{x}{- 1}$

Schritt 4.3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.11.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = - (- 1 \cdot x)$

Schritt 4.3.11.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$f (- \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{x + 4}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 - 5 x}{3 x + 1}$