Trigonometrie Beispiele

$2 x + 3 y = 7$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 7 - 2 x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 7 - 2 x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 7 - 2 x$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{7}{3} + \frac{- 2 x}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{7}{3} + \frac{- 2 x}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7}{3} + \frac{- 2 x}{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{7}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{7}{3} - \frac{2 y}{3} = x$ um.

$\frac{7}{3} - \frac{2 y}{3} = x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $\frac{7}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{2 y}{3} = x - \frac{7}{3}$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{2 y}{3}) = - \frac{3}{2} (x - \frac{7}{3})$

Schritt 4.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache $- \frac{3}{2} (- \frac{2 y}{3})$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{2} (- \frac{2 y}{3}) = - \frac{3}{2} (x - \frac{7}{3})$

Schritt 4.4.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 y}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - \frac{7}{3})$

Schritt 4.4.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - \frac{7}{3})$

Schritt 4.4.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - \frac{7}{3})$

Schritt 4.4.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2} (- 2 y) = - \frac{3}{2} (x - \frac{7}{3})$

Schritt 4.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{- 1}{2} (2 (- y)) = - \frac{3}{2} (x - \frac{7}{3})$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2} (2 (- y)) = - \frac{3}{2} (x - \frac{7}{3})$

Schritt 4.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{3}{2} (x - \frac{7}{3})$

Schritt 4.4.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 4.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{3}{2} (x - \frac{7}{3})$

Schritt 4.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{3}{2} (x - \frac{7}{3})$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $- \frac{3}{2} (x - \frac{7}{3})$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} (- \frac{7}{3})$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} (- \frac{7}{3})$

Schritt 4.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} (- \frac{7}{3})$

Schritt 4.4.2.1.1.3.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{3}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 7}{3}$

Schritt 4.4.2.1.1.3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 7}{3}$

Schritt 4.4.2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 7}{3}$

Schritt 4.4.2.1.1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 7$

Schritt 4.4.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{- 1}{2}$ und $- 7$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- - 7}{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 4.4.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 5

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}$ ist.

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Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = - \frac{3 (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3})}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{- 3 (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) + 7}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{- 3 (\frac{7}{3}) - 3 (- \frac{2 x}{3}) + 7}{2}$

Schritt 6.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{3 (- 1) (\frac{7}{3}) - 3 (- \frac{2 x}{3}) + 7}{2}$

Schritt 6.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{3 \cdot (- 1 (\frac{7}{3})) - 3 (- \frac{2 x}{3}) + 7}{2}$

Schritt 6.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{- 1 \cdot 7 - 3 (- \frac{2 x}{3}) + 7}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{- 7 - 3 (- \frac{2 x}{3}) + 7}{2}$

Schritt 6.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.4.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x}{3}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{- 7 - 3 \frac{- 2 x}{3} + 7}{2}$

Schritt 6.2.4.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{- 7 + 3 (- 1) (\frac{- 2 x}{3}) + 7}{2}$

Schritt 6.2.4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{- 7 + 3 \cdot (- 1 \frac{- 2 x}{3}) + 7}{2}$

Schritt 6.2.4.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{- 7 - 1 (- 2 x) + 7}{2}$

Schritt 6.2.4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{- 7 + 2 x + 7}{2}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 7 + 2 x + 7$ .

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Schritt 6.2.5.1.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 6.2.5.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 6.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 6.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{7}{3} - \frac{2 (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2})}{3}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{7 - 2 (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2})}{3}$

Schritt 6.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{7 - 2 (- \frac{3 x}{2}) - 2 (\frac{7}{2})}{3}$

Schritt 6.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{7 - 2 \frac{- 3 x}{2} - 2 (\frac{7}{2})}{3}$

Schritt 6.3.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{7 + 2 (- 1) (\frac{- 3 x}{2}) - 2 (\frac{7}{2})}{3}$

Schritt 6.3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{7 + 2 \cdot (- 1 \frac{- 3 x}{2}) - 2 (\frac{7}{2})}{3}$

Schritt 6.3.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{7 - 1 (- 3 x) - 2 (\frac{7}{2})}{3}$

Schritt 6.3.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{7 + 3 x - 2 (\frac{7}{2})}{3}$

Schritt 6.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{7 + 3 x + 2 (- 1) (\frac{7}{2})}{3}$

Schritt 6.3.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{7 + 3 x + 2 \cdot (- 1 (\frac{7}{2}))}{3}$

Schritt 6.3.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{7 + 3 x - 1 \cdot 7}{3}$

Schritt 6.3.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{7 + 3 x - 7}{3}$

Schritt 6.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $7 + 3 x - 7$ .

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Schritt 6.3.5.1.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 6.3.5.1.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 6.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 6.3.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{7}{3} - \frac{2 x}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}$