Trigonometrie Beispiele

$- 2 \cos (x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - 2 \cos (y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 \cos (y) = x$ um.

$- 2 \cos (y) = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (y) = x$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (y) = x$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (y)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos (y)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (y)$ durch $1$ .

$\cos (y) = \frac{x}{- 2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (y) = - \frac{x}{2}$

Schritt 2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$y = \arccos (- \frac{x}{2})$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arccos (- \frac{x}{2})$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arccos (- \frac{x}{2})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 2 \cos (x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 2 \cos (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (x)) = \arccos (- \frac{- 2 \cos (x)}{2})$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (x)$ heraus.

$f^{- 1} (- 2 \cos (x)) = \arccos (- \frac{2 (- \cos (x))}{2})$

Schritt 4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (- 2 \cos (x)) = \arccos (- \frac{2 (- \cos (x))}{2 (1)})$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 2 \cos (x)) = \arccos (- \frac{2 (- \cos (x))}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 2 \cos (x)) = \arccos (- \frac{- \cos (x)}{1})$

Schritt 4.2.3.2.4

Dividiere $- \cos (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arccos (- \frac{x}{2}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arccos (- \frac{x}{2})) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}))$

Schritt 4.3.3

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\arccos (- \frac{x}{2})) = - 2 (- \frac{x}{2})$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2}$ in den Zähler.

$f (\arccos (- \frac{x}{2})) = - 2 \frac{- x}{2}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\arccos (- \frac{x}{2})) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

Schritt 4.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arccos (- \frac{x}{2})) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

Schritt 4.3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\arccos (- \frac{x}{2})) = - 1 (- x)$

Schritt 4.3.5

Multipliziere.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\arccos (- \frac{x}{2})) = 1 x$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\arccos (- \frac{x}{2})) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arccos (- \frac{x}{2})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 2 \cos (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (- \frac{x}{2})$