Trigonometrie Beispiele

$- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ um.

$- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (3 y - \frac{π}{4})$ durch $1$ .

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{- 2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = - \frac{x}{2}$

Schritt 2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$3 y - \frac{π}{4} = \arccos (- \frac{x}{2})$

Schritt 2.4

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.5.3.1.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 2.5.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ heraus.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 (1)})}{3} + \frac{π}{12}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 \cdot 1})}{3} + \frac{π}{12}$

Schritt 4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (3 x - \frac{π}{4})}{1})}{3} + \frac{π}{12}$

Schritt 4.2.3.1.2.4

Dividiere $- \cos (3 x - \frac{π}{4})$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $- - \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (1 \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Schritt 4.2.3.2.2

Mutltipliziere $\cos (3 x - \frac{π}{4})$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 (4)}) - \frac{π}{4})$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 \cdot 4}) - \frac{π}{4})$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π - π}{4})$

Schritt 4.3.4.1.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{0}{4})$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.4.2.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 0)$

Schritt 4.3.4.2.2

Addiere $\arccos (- \frac{x}{2})$ und $0$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}))$

Schritt 4.3.5

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 (- \frac{x}{2})$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \frac{- x}{2}$

Schritt 4.3.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

Schritt 4.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

Schritt 4.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 1 (- x)$

Schritt 4.3.7

Multipliziere.

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Schritt 4.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 1 x$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$