Trigonometrie Beispiele

$5 \cos (5 x) + 2$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 5 \cos (5 y) + 2$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $5 \cos (5 y) + 2 = x$ um.

$5 \cos (5 y) + 2 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 \cos (5 y) = x - 2$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (5 y) = x - 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (5 y) = x - 2$ durch $5$ .

$\frac{5 \cos (5 y)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cos (5 y)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $\cos (5 y)$ durch $1$ .

$\cos (5 y) = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (5 y) = \frac{x}{5} - \frac{2}{5}$

Schritt 2.4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$5 y = \arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $5 y = \arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = \arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5 \cos (5 x) + 2$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x) + 2}{5} - \frac{2}{5})}{5}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x) + 2 - 2}{5})}{5}$

Schritt 4.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 \cos (5 x) + 2 - 2$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x) + 0}{5})}{5}$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $5 \cos (5 x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x)}{5})}{5}$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\frac{5 \cos (5 x)}{5})}{5}$

Schritt 4.2.3.3.2

Dividiere $\cos (5 x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 \cos (5 x) + 2) = \frac{\arccos (\cos (5 x))}{5}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 \cos (5 (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5})) + 2$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 \cos (5 (\frac{\arccos (\frac{x - 2}{5})}{5})) + 2$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 \cos (5 (\frac{\arccos (\frac{x - 2}{5})}{5})) + 2$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 \cos (\arccos (\frac{x - 2}{5})) + 2$

Schritt 4.3.3.3

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 (\frac{x - 2}{5}) + 2$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = 5 (\frac{x - 2}{5}) + 2$

Schritt 4.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = x - 2 + 2$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5 \cos (5 x) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}$