Trigonometrie Beispiele

$- 4 x + 3 y = 25$

Schritt 1

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 25 + 4 x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 25 + 4 x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 25 + 4 x$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{25}{3} + \frac{4 y}{3}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{25}{3} + \frac{4 y}{3} = x$ um.

$\frac{25}{3} + \frac{4 y}{3} = x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $\frac{25}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4 y}{3} = x - \frac{25}{3}$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (x - \frac{25}{3})$

Schritt 4.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3}$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (x - \frac{25}{3})$

Schritt 4.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (x - \frac{25}{3})$

Schritt 4.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.4.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{1}{4} (4 (y)) = \frac{3}{4} (x - \frac{25}{3})$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (x - \frac{25}{3})$

Schritt 4.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{4} (x - \frac{25}{3})$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $\frac{3}{4} (x - \frac{25}{3})$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} (- \frac{25}{3})$

Schritt 4.4.2.1.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} (- \frac{25}{3})$

Schritt 4.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{25}{3}$ in den Zähler.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 25}{3}$

Schritt 4.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 25}{3}$

Schritt 4.4.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 25$

Schritt 4.4.2.1.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 25$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 25}{4}$

Schritt 4.4.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}$

Schritt 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}$ ist.

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Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}) = \frac{3 (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3})}{4} - \frac{25}{4}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}) = \frac{3 (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}) - 25}{4}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}) = \frac{3 (\frac{25}{3}) + 3 (\frac{4 x}{3}) - 25}{4}$

Schritt 6.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}) = \frac{3 (\frac{25}{3}) + 3 (\frac{4 x}{3}) - 25}{4}$

Schritt 6.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}) = \frac{25 + 3 (\frac{4 x}{3}) - 25}{4}$

Schritt 6.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}) = \frac{25 + 3 (\frac{4 x}{3}) - 25}{4}$

Schritt 6.2.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}) = \frac{25 + 4 x - 25}{4}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $25 + 4 x - 25$ .

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Schritt 6.2.5.1.1

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$f^{- 1} (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 6.2.5.1.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 6.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 6.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}) = \frac{25}{3} + \frac{4 (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4})}{3}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}) = \frac{25 + 4 (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4})}{3}$

Schritt 6.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}) = \frac{25 + 4 (\frac{3 x}{4}) + 4 (- \frac{25}{4})}{3}$

Schritt 6.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}) = \frac{25 + 4 (\frac{3 x}{4}) + 4 (- \frac{25}{4})}{3}$

Schritt 6.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}) = \frac{25 + 3 x + 4 (- \frac{25}{4})}{3}$

Schritt 6.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{25}{4}$ in den Zähler.

$f (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}) = \frac{25 + 3 x + 4 (\frac{- 25}{4})}{3}$

Schritt 6.3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}) = \frac{25 + 3 x + 4 (\frac{- 25}{4})}{3}$

Schritt 6.3.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}) = \frac{25 + 3 x - 25}{3}$

Schritt 6.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $25 + 3 x - 25$ .

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Schritt 6.3.5.1.1

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$f (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 6.3.5.1.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 6.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 6.3.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{25}{3} + \frac{4 x}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}$