Trigonometrie Beispiele

$4 x + 2 - 6 y = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 - 6 y = - 4 x$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 y = - 4 x - 2$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 6 y = - 4 x - 2$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 y = - 4 x - 2$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{- 4 x}{- 6} + \frac{- 2}{- 6}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{- 4 x}{- 6} + \frac{- 2}{- 6}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 4 x}{- 6} + \frac{- 2}{- 6}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $- 6$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \frac{- 2 (2 x)}{- 6} + \frac{- 2}{- 6}$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{- 2 (2 x)}{- 2 (3)} + \frac{- 2}{- 6}$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 2 (2 x)}{- 2 \cdot 3} + \frac{- 2}{- 6}$

Schritt 2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{- 6}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $- 6$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 (1)}{- 6}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} = x$ um.

$\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} = x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 y}{3} = x - \frac{1}{3}$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x - \frac{1}{3})$

Schritt 4.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3}$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x - \frac{1}{3})$

Schritt 4.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x - \frac{1}{3})$

Schritt 4.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (x - \frac{1}{3})$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x - \frac{1}{3})$

Schritt 4.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{2} (x - \frac{1}{3})$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} (- \frac{1}{3})$

Schritt 4.4.2.1.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{1}{3})$

Schritt 4.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{3}$

Schritt 4.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- 1}{3}$

Schritt 4.4.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 4.4.2.1.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.4.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}$ ist.

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Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}) - 1}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{3}) - 1}{2}$

Schritt 6.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{3}) - 1}{2}$

Schritt 6.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{2 x + 3 (\frac{1}{3}) - 1}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{2 x + 3 (\frac{1}{3}) - 1}{2}$

Schritt 6.2.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 1 - 1$ .

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Schritt 6.2.5.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 6.2.5.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 6.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 6.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2})}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}) + 1}{3}$

Schritt 6.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}{3}$

Schritt 6.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}{3}$

Schritt 6.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3 x + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}{3}$

Schritt 6.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3 x + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}{3}$

Schritt 6.3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3 x + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}{3}$

Schritt 6.3.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3 x - 1 + 1}{3}$

Schritt 6.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x - 1 + 1$ .

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Schritt 6.3.5.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 6.3.5.1.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 6.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 6.3.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}$