Trigonometrie Beispiele

$- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2 = x$ um.

$- 4 \csc (\frac{1}{2} y) + 2 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$ durch $- 4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \csc (\frac{1}{2} y) = x - 2$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} y)}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} y)}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $\csc (\frac{1}{2} y)$ durch $1$ .

$\csc (\frac{1}{2} y) = \frac{x}{- 4} + \frac{- 2}{- 4}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2}{- 4}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $- 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 (1)}{- 4}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\csc (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$\frac{1}{2} y = arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Schritt 2.5

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$\frac{y}{2} = arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Schritt 2.6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Schritt 2.7

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Schritt 2.7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2}{4} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \csc (\frac{1}{2} x)$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2}{4} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2 (1)}{4} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x)) + 2 (1)$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{4} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.2.3.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{2 (2)} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.2.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{2 (- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.2.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 2 \csc (\frac{1}{2} x) + 1}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (- \frac{- 2 \csc (\frac{x}{2}) + 1}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{- (- 2 \csc (\frac{x}{2}) + 1) + 1}{2})$

Schritt 4.2.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{- (- 2 \csc (\frac{x}{2})) - 1 \cdot 1 + 1}{2})$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1 + 1}{2})$

Schritt 4.2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 + 1}{2})$

Schritt 4.2.6

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 \csc (\frac{x}{2}) - 1 + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2}) + 0}{2})$

Schritt 4.2.6.1.2

Addiere $2 \csc (\frac{x}{2})$ und $0$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2})}{2})$

Schritt 4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\frac{2 \csc (\frac{x}{2})}{2})$

Schritt 4.2.6.2.2

Dividiere $\csc (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2) = 2 arccsc (\csc (\frac{x}{2}))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))) + 2$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ heraus.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 (arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})))) + 2$

Schritt 4.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (\frac{1}{2} \cdot (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}))) + 2$

Schritt 4.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \csc (arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) + 2$

Schritt 4.3.3.2

The functions cosecant and arccosecant are inverses.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + 2$

Schritt 4.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 (- \frac{x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{4}$ in den Zähler.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 4 \frac{- x}{4} - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 4.3.3.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 4 (- 1) (\frac{- x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 4.3.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 4 \cdot (- 1 \frac{- x}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 4.3.3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = - 1 (- x) - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 4.3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = 1 x - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 4.3.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x - 4 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 4.3.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 2 (- 2) (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 4.3.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 2 \cdot (- 2 (\frac{1}{2})) + 2$

Schritt 4.3.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x - 2 + 2$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 4 \csc (\frac{1}{2} x) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 2 arccsc (- \frac{x}{4} + \frac{1}{2})$