Trigonometrie Beispiele

$4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ um.

$4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = x$ durch $4$ .

$\frac{4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3})$ durch $1$ .

$\cos (\frac{y}{2} - \frac{π}{3}) = \frac{x}{4}$

Schritt 2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{y}{2} - \frac{π}{3} = \arccos (\frac{x}{4})$

Schritt 2.4

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{2} = \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$

Schritt 2.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Schritt 2.6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Schritt 2.6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Vereinfache $2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$ .

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Schritt 2.6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + 2 \frac{π}{3}$

Schritt 2.6.2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Schritt 2.7

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{2} = \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$

Schritt 2.8

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Schritt 2.9

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.9.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.9.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Schritt 2.9.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$

Schritt 2.9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.9.2.1

Vereinfache $2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})$ .

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Schritt 2.9.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + 2 \frac{π}{3}$

Schritt 2.9.2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\frac{4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\frac{4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})}{4}) + \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.2.3.2

Dividiere $\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ durch $1$ .

$f^{- 1} (4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) = 2 \arccos (\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})) + \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ und $2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \arccos (\frac{x}{4})$ heraus.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4})) + \frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $\frac{2 π}{3}$ heraus.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4})) + 2 (\frac{π}{3})}{2} - \frac{π}{3})$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\arccos (\frac{x}{4})) + 2 \frac{π}{3}$ heraus.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2} - \frac{π}{3})$

Schritt 4.3.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2 (1)} - \frac{π}{3})$

Schritt 4.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3})}{2 \cdot 1} - \frac{π}{3})$

Schritt 4.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}}{1} - \frac{π}{3})$

Schritt 4.3.3.4.4

Dividiere $\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3}$ durch $1$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3} - \frac{π}{3})$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π}{3} - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{π - π}{3})$

Schritt 4.3.4.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + \frac{0}{3})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.5.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}) + 0)$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $\arccos (\frac{x}{4})$ und $0$ .

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\arccos (\frac{x}{4}))$

Schritt 4.3.6

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 4.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arccos (\frac{x}{4}) + \frac{2 π}{3}$