Trigonometrie Beispiele

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y - 29 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 6$ und $c = 4 x^{2} + 8 x - 29$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 (4 x^{2}) - 12 (8 x) - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 12 (8 x) - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 96 x - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 29$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 96 x + 348}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.5

Addiere $36$ und $348$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 48 x^{2} - 96 x + 384}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $- 48 x^{2} - 96 x + 384$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x^{2} - 96 x + 384$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) - 96 x + 384}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.6.1.2

Faktorisiere $48$ aus $- 96 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x) + 384}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.6.1.3

Faktorisiere $48$ aus $384$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x) + 48 (8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.6.1.4

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x) + 48 (8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.6.1.5

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x^{2} - 2 x) + 48 (8)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 3.1.6.2.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.6.2.1.2

Schreibe $- 2$ um als $2$ plus $- 4$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (2 - 4) x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 4 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + 2 x) - 4 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (x (- x + 2) + 4 (- x + 2))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 ((- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $48 (- x + 2) (x + 4)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))$ um.

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Schritt 3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{16 (3) (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 ((- x + 2) (x + 4)))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.7.5

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2^{2} \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{6}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{6}$ .

$y = \frac{3 \pm 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 (4 x^{2}) - 12 (8 x) - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 12 (8 x) - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 96 x - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 29$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 96 x + 348}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.5

Addiere $36$ und $348$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 48 x^{2} - 96 x + 384}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $- 48 x^{2} - 96 x + 384$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x^{2} - 96 x + 384$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) - 96 x + 384}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.1.2

Faktorisiere $48$ aus $- 96 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x) + 384}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.1.3

Faktorisiere $48$ aus $384$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x) + 48 (8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.1.4

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x) + 48 (8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.1.5

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x^{2} - 2 x) + 48 (8)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 4.1.6.2.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.2.1.2

Schreibe $- 2$ um als $2$ plus $- 4$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (2 - 4) x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 4 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + 2 x) - 4 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (x (- x + 2) + 4 (- x + 2))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 ((- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $48 (- x + 2) (x + 4)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{16 (3) (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.7.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.7.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 ((- x + 2) (x + 4)))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.7.5

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2^{2} \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{6}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{6}$ .

$y = \frac{3 \pm 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (4 x^{2} + 8 x - 29)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 (4 x^{2}) - 12 (8 x) - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 12 (8 x) - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 96 x - 12 \cdot - 29}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 29$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48 x^{2} - 96 x + 348}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.5

Addiere $36$ und $348$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 48 x^{2} - 96 x + 384}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $- 48 x^{2} - 96 x + 384$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x^{2} - 96 x + 384$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) - 96 x + 384}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.6.1.2

Faktorisiere $48$ aus $- 96 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x) + 384}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.6.1.3

Faktorisiere $48$ aus $384$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x) + 48 (8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.6.1.4

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x^{2}) + 48 (- 2 x)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x) + 48 (8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.6.1.5

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x^{2} - 2 x) + 48 (8)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 5.1.6.2.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} - 2 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.6.2.1.2

Schreibe $- 2$ um als $2$ plus $- 4$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (2 - 4) x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 4 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + 2 x) - 4 x + 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (x (- x + 2) + 4 (- x + 2))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 ((- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{48 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $48 (- x + 2) (x + 4)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{16 (3) (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.7.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.7.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 ((- x + 2) (x + 4)))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.7.5

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (- x + 2) (x + 4))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2^{2} \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{6}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 4 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{6}$ .

$y = \frac{3 \pm 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

$y = \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$

Schritt 7

Tausche die Variablen aus. Erstelle für jeden Ausdruck eine Gleichung.

$x = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3}, x = \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3}$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3} = x$ um.

$\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3} = x$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Vereinfache $\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 8.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 + 2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)} = x \cdot 3$

Schritt 8.3.1.1.2

Stelle $3$ und $2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}$ um.

$2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)} + 3 = x \cdot 3$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)} + 3 = 3 x$

Schritt 8.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.4.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)} = 3 x - 3$

Schritt 8.4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 8.4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 (- y + 2) (y + 4)}$ als ${(3 (- y + 2) (y + 4))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(3 (- y + 2) (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.3.2.1

Vereinfache ${(2 {(3 (- y + 2) (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.3.2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 8.4.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 {((3 (- y) + 3 \cdot 2) (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 8.4.3.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

${(2 {((- 3 y + 3 \cdot 2) (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

${(2 {((- 3 y + 6) (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.2

Multipliziere $(- 3 y + 6) (y + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.4.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 {(- 3 y (y + 4) + 6 (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 {(- 3 y \cdot y - 3 y \cdot 4 + 6 (y + 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 {(- 3 y \cdot y - 3 y \cdot 4 + 6 y + 6 \cdot 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.4.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.3.2.1.3.1.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.3.2.1.3.1.1.1

Bewege $y$ .

${(2 {(- 3 (y \cdot y) - 3 y \cdot 4 + 6 y + 6 \cdot 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

${(2 {(- 3 y^{2} - 3 y \cdot 4 + 6 y + 6 \cdot 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

${(2 {(- 3 y^{2} - 12 y + 6 y + 6 \cdot 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

${(2 {(- 3 y^{2} - 12 y + 6 y + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.3.2

Addiere $- 12 y$ und $6 y$ .

${(2 {(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.4

Wende die Produktregel auf $2 {(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.4.3.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.3.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(- 3 y^{2} - 6 y + 24)}^{1} = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.7

Vereinfache.

$4 (- 3 y^{2} - 6 y + 24) = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (- 3 y^{2}) + 4 (- 6 y) + 4 \cdot 24 = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.9

Vereinfache.

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Schritt 8.4.3.2.1.9.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$- 12 y^{2} + 4 (- 6 y) + 4 \cdot 24 = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.9.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 4 \cdot 24 = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.2.1.9.3

Mutltipliziere $4$ mit $24$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = {(3 x - 3)}^{2}$

Schritt 8.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.3.3.1

Vereinfache ${(3 x - 3)}^{2}$ .

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Schritt 8.4.3.3.1.1

Schreibe ${(3 x - 3)}^{2}$ als $(3 x - 3) (3 x - 3)$ um.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = (3 x - 3) (3 x - 3)$

Schritt 8.4.3.3.1.2

Multipliziere $(3 x - 3) (3 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.4.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 3 x (3 x - 3) - 3 (3 x - 3)$

Schritt 8.4.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x - 3)$

Schritt 8.4.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 8.4.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.4.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 8.4.3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 8.4.3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 8.4.3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 8.4.3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 9 x^{2} - 9 x - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 8.4.3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 9 x^{2} - 9 x - 9 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 8.4.3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 9 x^{2} - 9 x - 9 x + 9$

Schritt 8.4.3.3.1.3.2

Subtrahiere $9 x$ von $- 9 x$ .

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 = 9 x^{2} - 18 x + 9$

Schritt 8.4.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.4.4.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 8.4.4.1.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.4.4.1.1.1

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 - 9 x^{2} = - 18 x + 9$

Schritt 8.4.4.1.1.2

Addiere $18 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 - 9 x^{2} + 18 x = 9$

Schritt 8.4.4.1.1.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 y^{2} - 24 y + 96 - 9 x^{2} + 18 x - 9 = 0$

Schritt 8.4.4.1.2

Subtrahiere $9$ von $96$ .

$- 12 y^{2} - 24 y - 9 x^{2} + 18 x + 87 = 0$

Schritt 8.4.4.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.4.4.3

Setze die Werte $a = - 12$ , $b = - 24$ und $c = - 9 x^{2} + 18 x + 87$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87))}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.4.4.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 12 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 48 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 48 (- 9 x^{2}) + 48 (18 x) + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.4.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $48$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 48 (18 x) + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.4.2

Mutltipliziere $18$ mit $48$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 864 x + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.4.3

Mutltipliziere $48$ mit $87$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 864 x + 4176}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.5

Addiere $576$ und $4176$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{- 432 x^{2} + 864 x + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.6

Faktorisiere $432$ aus $- 432 x^{2} + 864 x + 4752$ heraus.

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Schritt 8.4.4.4.1.6.1

Faktorisiere $432$ aus $- 432 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 864 x + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.6.2

Faktorisiere $432$ aus $864 x$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 432 (2 x) + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.6.3

Faktorisiere $432$ aus $4752$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 432 (2 x) + 432 (11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.6.4

Faktorisiere $432$ aus $432 (- x^{2}) + 432 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2} + 2 x) + 432 (11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.6.5

Faktorisiere $432$ aus $432 (- x^{2} + 2 x) + 432 (11)$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.7

Schreibe $432 (- x^{2} + 2 x + 11)$ als $12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))$ um.

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Schritt 8.4.4.4.1.7.1

Faktorisiere $144$ aus $432$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{144 (3) (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.7.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 24}$

Schritt 8.4.4.4.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 24}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 2}$

Schritt 8.4.4.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Schritt 8.4.4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.4.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.4.5.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 12 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 48 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 48 (- 9 x^{2}) + 48 (18 x) + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.4.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $48$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 48 (18 x) + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.4.2

Mutltipliziere $18$ mit $48$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 864 x + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.4.3

Mutltipliziere $48$ mit $87$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 864 x + 4176}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.5

Addiere $576$ und $4176$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{- 432 x^{2} + 864 x + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.6

Faktorisiere $432$ aus $- 432 x^{2} + 864 x + 4752$ heraus.

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Schritt 8.4.4.5.1.6.1

Faktorisiere $432$ aus $- 432 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 864 x + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.6.2

Faktorisiere $432$ aus $864 x$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 432 (2 x) + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.6.3

Faktorisiere $432$ aus $4752$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 432 (2 x) + 432 (11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.6.4

Faktorisiere $432$ aus $432 (- x^{2}) + 432 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2} + 2 x) + 432 (11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.6.5

Faktorisiere $432$ aus $432 (- x^{2} + 2 x) + 432 (11)$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.7

Schreibe $432 (- x^{2} + 2 x + 11)$ als $12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))$ um.

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Schritt 8.4.4.5.1.7.1

Faktorisiere $144$ aus $432$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{144 (3) (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.7.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 24}$

Schritt 8.4.4.5.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 24}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 2}$

Schritt 8.4.4.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Schritt 8.4.4.5.5

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Schritt 8.4.4.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.4.4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.4.6.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 12 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 48 \cdot (- 9 x^{2} + 18 x + 87)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 48 (- 9 x^{2}) + 48 (18 x) + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.4.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $48$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 48 (18 x) + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.4.2

Mutltipliziere $18$ mit $48$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 864 x + 48 \cdot 87}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.4.3

Mutltipliziere $48$ mit $87$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432 x^{2} + 864 x + 4176}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.5

Addiere $576$ und $4176$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{- 432 x^{2} + 864 x + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.6

Faktorisiere $432$ aus $- 432 x^{2} + 864 x + 4752$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.4.6.1.6.1

Faktorisiere $432$ aus $- 432 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 864 x + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.6.2

Faktorisiere $432$ aus $864 x$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 432 (2 x) + 4752}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.6.3

Faktorisiere $432$ aus $4752$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2}) + 432 (2 x) + 432 (11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.6.4

Faktorisiere $432$ aus $432 (- x^{2}) + 432 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2} + 2 x) + 432 (11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.6.5

Faktorisiere $432$ aus $432 (- x^{2} + 2 x) + 432 (11)$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{432 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.7

Schreibe $432 (- x^{2} + 2 x + 11)$ als $12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.4.6.1.7.1

Faktorisiere $144$ aus $432$ heraus.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{144 (3) (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.7.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{12^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 2 x + 11))}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 8.4.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 24}$

Schritt 8.4.4.6.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 12 \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 24}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{- 2}$

Schritt 8.4.4.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Schritt 8.4.4.6.5

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Schritt 8.4.4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Schritt 9

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Schritt 10

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}, \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ ist.

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Schritt 10.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}, \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ und $f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$ und vergleiche sie.

Schritt 10.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}, \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ .

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Schritt 10.2.1

Finde den Wertebereich von $\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ .

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Schritt 10.2.1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[1, 1 + 2 \sqrt{3}]$

Schritt 10.2.2

Finde den Wertebereich von $\frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ .

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Schritt 10.2.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[1 - 2 \sqrt{3}, 1]$

Schritt 10.2.3

Finde die Union (Vereinigung) von $[1, 1 + 2 \sqrt{3}], [1 - 2 \sqrt{3}, 1]$ .

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Schritt 10.2.3.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

$[1 - 2 \sqrt{3}, 1 + 2 \sqrt{3}]$

Schritt 10.3

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$ .

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Schritt 10.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 (- x^{2} + 2 x + 11) \geq 0$

Schritt 10.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (- x^{2} + 2 x + 11) \geq 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 10.3.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (- x^{2} + 2 x + 11) \geq 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 10.3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.3.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 10.3.2.1.2.1.2

Dividiere $- x^{2} + 2 x + 11$ durch $1$ .

$- x^{2} + 2 x + 11 \geq \frac{0}{3}$

Schritt 10.3.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$- x^{2} + 2 x + 11 \geq 0$

Schritt 10.3.2.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} + 2 x + 11 = 0$

Schritt 10.3.2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10.3.2.4

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 2$ und $c = 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 11)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 10.3.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 44}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.5.1.3

Addiere $4$ und $44$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.5.1.4

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 10.3.2.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 10.3.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 2 \sqrt{3}$

Schritt 10.3.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.3.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.2.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 11$ .

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Schritt 10.3.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 44}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.6.1.3

Addiere $4$ und $44$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.6.1.4

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 10.3.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 2 \sqrt{3}$

Schritt 10.3.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + 2 \sqrt{3}$

Schritt 10.3.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.3.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.2.7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 44}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.7.1.3

Addiere $4$ und $44$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.7.1.4

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 10.3.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 10.3.2.7.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 2 \sqrt{3}$

Schritt 10.3.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - 2 \sqrt{3}$

Schritt 10.3.2.8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1 + 2 \sqrt{3}, 1 - 2 \sqrt{3}$

Schritt 10.3.2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1 - 2 \sqrt{3}$

$1 - 2 \sqrt{3} < x < 1 + 2 \sqrt{3}$

$x > 1 + 2 \sqrt{3}$

Schritt 10.3.2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.3.2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1 - 2 \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1 - 2 \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 10.3.2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (- {(- 5)}^{2} + 2 (- 5) + 11) \geq 0$

Schritt 10.3.2.10.1.3

Die linke Seite $- 72$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3.2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $1 - 2 \sqrt{3} < x < 1 + 2 \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 - 2 \sqrt{3} < x < 1 + 2 \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.3.2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (- {(0)}^{2} + 2 (0) + 11) \geq 0$

Schritt 10.3.2.10.2.3

Die linke Seite $33$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3.2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1 + 2 \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1 + 2 \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 7$

Schritt 10.3.2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $7$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (- {(7)}^{2} + 2 (7) + 11) \geq 0$

Schritt 10.3.2.10.3.3

Die linke Seite $- 72$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3.2.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1 - 2 \sqrt{3}$ Falsch

$1 - 2 \sqrt{3} < x < 1 + 2 \sqrt{3}$ Wahr

$x > 1 + 2 \sqrt{3}$ Falsch

$x < 1 - 2 \sqrt{3}$ Falsch

$1 - 2 \sqrt{3} < x < 1 + 2 \sqrt{3}$ Wahr

$x > 1 + 2 \sqrt{3}$ Falsch

Schritt 10.3.2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$1 - 2 \sqrt{3} \leq x \leq 1 + 2 \sqrt{3}$

Schritt 10.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[1 - 2 \sqrt{3}, 1 + 2 \sqrt{3}]$

Schritt 10.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ .

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Schritt 10.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 (- x + 2) (x + 4) \geq 0$

Schritt 10.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- x + 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 10.4.2.2

Setze $- x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.2.2.1

Setze $- x + 2$ gleich $0$ .

$- x + 2 = 0$

Schritt 10.4.2.2.2

Löse $- x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.2.2.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 10.4.2.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 10.4.2.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 10.4.2.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.4.2.2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 10.4.2.2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 10.4.2.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.2.2.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 10.4.2.3

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.2.3.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 10.4.2.3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 10.4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (- x + 2) (x + 4) \geq 0$ wahr machen.

$x = 2, - 4$

Schritt 10.4.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 10.4.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.4.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 10.4.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (- (- 6) + 2) ((- 6) + 4) \geq 0$

Schritt 10.4.2.6.1.3

Die linke Seite $- 48$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.4.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (- (0) + 2) ((0) + 4) \geq 0$

Schritt 10.4.2.6.2.3

Die linke Seite $24$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 10.4.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (- (4) + 2) ((4) + 4) \geq 0$

Schritt 10.4.2.6.3.3

Die linke Seite $- 48$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 10.4.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 \leq x \leq 2$

Schritt 10.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 4, 2]$

Schritt 10.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$ der Wertebereich von $f (x) = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}, \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$ der Definitionsbereich von $f (x) = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}, \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$ die inverse Funktion von $f (x) = \frac{3 + 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}, \frac{3 - 2 \sqrt{3 (- x + 2) (x + 4)}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 + \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{3 (- x^{2} + 2 x + 11)}}{2}$

Schritt 11