Trigonometrie Beispiele

$3 x - 5 y = - 10$

Schritt 1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y = - 10 - 3 x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = - 10 - 3 x$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = - 10 - 3 x$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{- 10}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{- 10}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 10}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividiere $- 10$ durch $- 5$ .

$y = 2 + \frac{- 3 x}{- 5}$

Schritt 2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = 2 + \frac{3 x}{5}$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = 2 + \frac{3 y}{5}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $2 + \frac{3 y}{5} = x$ um.

$2 + \frac{3 y}{5} = x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 y}{5} = x - 2$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5} = \frac{5}{3} (x - 2)$

Schritt 4.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache $\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5}$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5} = \frac{5}{3} (x - 2)$

Schritt 4.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{5}{3} (x - 2)$

Schritt 4.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{5}{3} (x - 2)$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{5}{3} (x - 2)$

Schritt 4.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5}{3} (x - 2)$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $\frac{5}{3} (x - 2)$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 2$

Schritt 4.4.2.1.2

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 2$

Schritt 4.4.2.1.3

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 4.4.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 2}{3}$

Schritt 4.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 10}{3}$

Schritt 4.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}$

Schritt 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 + \frac{3 x}{5}$ ist.

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Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 + \frac{3 x}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \frac{3 x}{5}) = \frac{5 (2 + \frac{3 x}{5})}{3} - \frac{10}{3}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (2 + \frac{3 x}{5}) = \frac{5 (2 + \frac{3 x}{5}) - 10}{3}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 + \frac{3 x}{5}) = \frac{5 \cdot 2 + 5 (\frac{3 x}{5}) - 10}{3}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 + \frac{3 x}{5}) = \frac{10 + 5 (\frac{3 x}{5}) - 10}{3}$

Schritt 6.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 + \frac{3 x}{5}) = \frac{10 + 5 (\frac{3 x}{5}) - 10}{3}$

Schritt 6.2.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 + \frac{3 x}{5}) = \frac{10 + 3 x - 10}{3}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $10 + 3 x - 10$ .

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Schritt 6.2.5.1.1

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$f^{- 1} (2 + \frac{3 x}{5}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 6.2.5.1.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 + \frac{3 x}{5}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 6.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 + \frac{3 x}{5}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 6.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 + \frac{3 x}{5}) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + \frac{3 (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3})}{5}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + \frac{3 (\frac{5 x - 10}{3})}{5}$

Schritt 6.3.3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x - 10$ heraus.

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Schritt 6.3.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + \frac{3 (\frac{5 (x) - 10}{3})}{5}$

Schritt 6.3.3.1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 10$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + \frac{3 (\frac{5 x + 5 \cdot - 2}{3})}{5}$

Schritt 6.3.3.1.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 x + 5 \cdot - 2$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + \frac{3 (\frac{5 (x - 2)}{3})}{5}$

Schritt 6.3.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{5 (x - 2)}{3}$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + \frac{\frac{3 (5 (x - 2))}{3}}{5}$

Schritt 6.3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + \frac{\frac{15 (x - 2)}{3}}{5}$

Schritt 6.3.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{15 (x - 2)}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $15 (x - 2)$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + \frac{\frac{3 (5 (x - 2))}{3}}{5}$

Schritt 6.3.3.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + \frac{\frac{3 (5 (x - 2))}{3 (1)}}{5}$

Schritt 6.3.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + \frac{\frac{3 (5 (x - 2))}{3 \cdot 1}}{5}$

Schritt 6.3.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + \frac{\frac{5 (x - 2)}{1}}{5}$

Schritt 6.3.3.4.2

Dividiere $5 (x - 2)$ durch $1$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + \frac{5 (x - 2)}{5}$

Schritt 6.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + \frac{5 (x - 2)}{5}$

Schritt 6.3.3.5.2

Dividiere $x - 2$ durch $1$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = 2 + x - 2$

Schritt 6.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 + x - 2$ .

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Schritt 6.3.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = x + 0$

Schritt 6.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 + \frac{3 x}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}$