Trigonometrie Beispiele

$3 x + 2 y = 31$

Schritt 1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 31 - 3 x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 31 - 3 x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 31 - 3 x$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{31}{2} + \frac{- 3 x}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{31}{2} + \frac{- 3 x}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{31}{2} + \frac{- 3 x}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{31}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{31}{2} - \frac{3 y}{2} = x$ um.

$\frac{31}{2} - \frac{3 y}{2} = x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $\frac{31}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{3 y}{2} = x - \frac{31}{2}$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{3 y}{2}) = - \frac{2}{3} (x - \frac{31}{2})$

Schritt 4.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache $- \frac{2}{3} (- \frac{3 y}{2})$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{3} (- \frac{3 y}{2}) = - \frac{2}{3} (x - \frac{31}{2})$

Schritt 4.4.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 y}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3 y}{2} = - \frac{2}{3} (x - \frac{31}{2})$

Schritt 4.4.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 y}{2} = - \frac{2}{3} (x - \frac{31}{2})$

Schritt 4.4.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 y}{2} = - \frac{2}{3} (x - \frac{31}{2})$

Schritt 4.4.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} (- 3 y) = - \frac{2}{3} (x - \frac{31}{2})$

Schritt 4.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y$ heraus.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{2}{3} (x - \frac{31}{2})$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{2}{3} (x - \frac{31}{2})$

Schritt 4.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{2}{3} (x - \frac{31}{2})$

Schritt 4.4.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 4.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{2}{3} (x - \frac{31}{2})$

Schritt 4.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{2}{3} (x - \frac{31}{2})$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $- \frac{2}{3} (x - \frac{31}{2})$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} (- \frac{31}{2})$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{31}{2})$

Schritt 4.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (- \frac{31}{2})$

Schritt 4.4.2.1.1.3.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{31}{2}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 31}{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 31}{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 31}{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot - 31$

Schritt 4.4.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{- 1}{3}$ und $- 31$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- - 31}{3}$

Schritt 4.4.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 31$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{31}{3}$

Schritt 4.4.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}$

Schritt 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}$ ist.

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Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = - \frac{2 (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2})}{3} + \frac{31}{3}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{- 2 (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) + 31}{3}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{- 2 (\frac{31}{2}) - 2 (- \frac{3 x}{2}) + 31}{3}$

Schritt 6.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{2 (- 1) (\frac{31}{2}) - 2 (- \frac{3 x}{2}) + 31}{3}$

Schritt 6.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{2 \cdot (- 1 (\frac{31}{2})) - 2 (- \frac{3 x}{2}) + 31}{3}$

Schritt 6.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{- 1 \cdot 31 - 2 (- \frac{3 x}{2}) + 31}{3}$

Schritt 6.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $31$ .

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{- 31 - 2 (- \frac{3 x}{2}) + 31}{3}$

Schritt 6.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x}{2}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{- 31 - 2 \frac{- 3 x}{2} + 31}{3}$

Schritt 6.2.4.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{- 31 + 2 (- 1) (\frac{- 3 x}{2}) + 31}{3}$

Schritt 6.2.4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{- 31 + 2 \cdot (- 1 \frac{- 3 x}{2}) + 31}{3}$

Schritt 6.2.4.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{- 31 - 1 (- 3 x) + 31}{3}$

Schritt 6.2.4.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{- 31 + 3 x + 31}{3}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 31 + 3 x + 31$ .

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Schritt 6.2.5.1.1

Addiere $- 31$ und $31$ .

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 6.2.5.1.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 6.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 6.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{31}{2} - \frac{3 (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3})}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{31 - 3 (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3})}{2}$

Schritt 6.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{31 - 3 (- \frac{2 x}{3}) - 3 (\frac{31}{3})}{2}$

Schritt 6.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{31 - 3 \frac{- 2 x}{3} - 3 (\frac{31}{3})}{2}$

Schritt 6.3.4.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{31 + 3 (- 1) (\frac{- 2 x}{3}) - 3 (\frac{31}{3})}{2}$

Schritt 6.3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{31 + 3 \cdot (- 1 \frac{- 2 x}{3}) - 3 (\frac{31}{3})}{2}$

Schritt 6.3.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{31 - 1 (- 2 x) - 3 (\frac{31}{3})}{2}$

Schritt 6.3.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{31 + 2 x - 3 (\frac{31}{3})}{2}$

Schritt 6.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{31 + 2 x + 3 (- 1) (\frac{31}{3})}{2}$

Schritt 6.3.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{31 + 2 x + 3 \cdot (- 1 (\frac{31}{3}))}{2}$

Schritt 6.3.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{31 + 2 x - 1 \cdot 31}{2}$

Schritt 6.3.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $31$ .

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{31 + 2 x - 31}{2}$

Schritt 6.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $31 + 2 x - 31$ .

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Schritt 6.3.5.1.1

Subtrahiere $31$ von $31$ .

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 6.3.5.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 6.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 6.3.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (- \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{31}{2} - \frac{3 x}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 x}{3} + \frac{31}{3}$