Trigonometrie Beispiele

$3 \sin (4 x - π) + 4$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 3 \sin (4 y - π) + 4$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $3 \sin (4 y - π) + 4 = x$ um.

$3 \sin (4 y - π) + 4 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin (4 y - π) = x - 4$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (4 y - π) = x - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (4 y - π) = x - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 \sin (4 y - π)}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin (4 y - π)}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $\sin (4 y - π)$ durch $1$ .

$\sin (4 y - π) = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (4 y - π) = \frac{x}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 2.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 y - π = \arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})$

Schritt 2.5

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = \arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3}) + π$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $4 y = \arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3}) + π$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = \arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3}) + π$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 \sin (4 x - π) + 4$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (4 x - π) + 4}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (4 x - π) + 4 - 4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 \sin (4 x - π) + 4 - 4$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (4 x - π) + 0}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $3 \sin (4 x - π)$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (4 x - π)}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (4 x - π)}{3})}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.3.3.2

Dividiere $\sin (4 x - π)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 \sin (4 x - π) + 4) = \frac{\arcsin (\sin (4 x - π))}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) - π) + 4$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x - 4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) - π) + 4$

Schritt 4.3.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x - 4}{3}) + π}{4}) - π) + 4$

Schritt 4.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x - 4}{3}) + π}{4}) - π) + 4$

Schritt 4.3.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x - 4}{3}) + π - π) + 4$

Schritt 4.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\arcsin (\frac{x - 4}{3}) + π - π$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x - 4}{3}) + 0) + 4$

Schritt 4.3.3.2.2

Addiere $\arcsin (\frac{x - 4}{3})$ und $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x - 4}{3})) + 4$

Schritt 4.3.3.3

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 (\frac{x - 4}{3}) + 4$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = 3 (\frac{x - 4}{3}) + 4$

Schritt 4.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = x - 4 + 4$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 4 + 4$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 \sin (4 x - π) + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}{4} + \frac{π}{4}$