Trigonometrie Beispiele

$- 3 \sin (4 x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - 3 \sin (4 y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 \sin (4 y) = x$ um.

$- 3 \sin (4 y) = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \sin (4 y) = x$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \sin (4 y) = x$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin (4 y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \sin (4 y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (4 y)$ durch $1$ .

$\sin (4 y) = \frac{x}{- 3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (4 y) = - \frac{x}{3}$

Schritt 2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 y = \arcsin (- \frac{x}{3})$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $4 y = \arcsin (- \frac{x}{3})$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = \arcsin (- \frac{x}{3})$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 3 \sin (4 x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 3 \sin (4 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (- \frac{- 3 \sin (4 x)}{3})}{4}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \sin (4 x)$ heraus.

$f^{- 1} (- 3 \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (- \frac{3 (- \sin (4 x))}{3})}{4}$

Schritt 4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (- 3 \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (- \frac{3 (- \sin (4 x))}{3 (1)})}{4}$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 3 \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (- \frac{3 (- \sin (4 x))}{3 \cdot 1})}{4}$

Schritt 4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 3 \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (- \frac{- \sin (4 x)}{1})}{4}$

Schritt 4.2.3.2.4

Dividiere $- \sin (4 x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\sin (4 x))}{4}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}) = - 3 \sin (4 (\frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}))$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}) = - 3 \sin (4 (\frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}))$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}) = - 3 \sin (\arcsin (- \frac{x}{3}))$

Schritt 4.3.4

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}) = - 3 (- \frac{x}{3})$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{3}$ in den Zähler.

$f (\frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}) = - 3 \frac{- x}{3}$

Schritt 4.3.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (\frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}) = 3 (- 1) (\frac{- x}{3})$

Schritt 4.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- x}{3})$

Schritt 4.3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}) = - 1 (- x)$

Schritt 4.3.6

Multipliziere.

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Schritt 4.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}) = 1 x$

Schritt 4.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 3 \sin (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (- \frac{x}{3})}{4}$