Trigonometrie Beispiele

$3 \sin (2 x + 1)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 3 \sin (2 y + 1)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $3 \sin (2 y + 1) = x$ um.

$3 \sin (2 y + 1) = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (2 y + 1) = x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (2 y + 1) = x$ durch $3$ .

$\frac{3 \sin (2 y + 1)}{3} = \frac{x}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin (2 y + 1)}{3} = \frac{x}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (2 y + 1)$ durch $1$ .

$\sin (2 y + 1) = \frac{x}{3}$

Schritt 2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 y + 1 = \arcsin (\frac{x}{3})$

Schritt 2.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \arcsin (\frac{x}{3}) - 1$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arcsin (\frac{x}{3}) - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arcsin (\frac{x}{3}) - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 \sin (2 x + 1)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 \sin (2 x + 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \sin (2 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (2 x + 1)}{3})}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 \sin (2 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{3 \sin (2 x + 1)}{3})}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Dividiere $\sin (2 x + 1)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 \sin (2 x + 1)) = \frac{\arcsin (\sin (2 x + 1))}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}) + 1)$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1)$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1)$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x}{3}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1)$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x}{3}) + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1)$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x}{3}) + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1)$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x}{3}) - 1 + 1)$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\arcsin (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x}{3}) + 0)$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $\arcsin (\frac{x}{3})$ und $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x}{3}))$

Schritt 4.3.5

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 4.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 \sin (2 x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{3})}{2} - \frac{1}{2}$