Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} - \tan (θ)$

Schritt 1

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 2

Um $\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 3

Um $- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \sin (θ)) \cos (θ)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)}$ mit $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{(1 - \sin (θ)) \cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ mit $\frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{(1 - \sin (θ)) \cos (θ)} - \frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \sin (θ)) \cos (θ)$ um.

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))} - \frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Schritt 6.1.1

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (θ)}^{1 + 1} - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) (1 - \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) \cdot 1 - \sin (θ) (- \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.4

Multipliziere $- \sin (θ) (- \sin (θ))$ .

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + 1 \sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.4.3

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.4.4

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.5

Schreibe $\cos^{2} (θ) - \sin (θ) + \sin^{2} (θ)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.5.1

Ordne Terme um.

$\frac{- \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.5.2

Ordne Terme um.

$\frac{- \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6.5.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \sin (θ) + 1}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- \sin (θ) + 1$ und $1 - \sin (θ)$ .

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Schritt 7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1 - \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \sin (θ)}{\cos (θ) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (θ)}$

Schritt 8

Wandle von $\frac{1}{\cos (θ)}$ nach $\sec (θ)$ um.

$\sec (θ)$