Trigonometrie Beispiele

Ermittle die Umkehrfunktion ((sin(x)+cos(x))^2)/(1+2sin(x)cos(x))
Schritt 1
Vertausche die Variablen.
Schritt 2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 2.2
Teile jeden Term in der Gleichung durch .
Schritt 2.3
Separiere Brüche.
Schritt 2.4
Wandle von nach um.
Schritt 2.5
Dividiere durch .
Schritt 2.6
Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.
Schritt 2.7
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.7.1
Kombiniere und .
Schritt 2.7.2
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 2.8
Separiere Brüche.
Schritt 2.9
Wandle von nach um.
Schritt 2.10
Dividiere durch .
Schritt 2.11
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.11.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.11.1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 2.11.1.2
Kombiniere und .
Schritt 2.11.1.3
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 2.11.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.12
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.12.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.12.1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 2.12.1.2
Kombiniere und .
Schritt 2.13
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit .
Schritt 2.14
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.14.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.14.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.15
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.15.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.15.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.16
Multipliziere beide Seiten mit .
Schritt 2.17
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.17.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.17.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.17.1.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.17.1.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.17.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.17.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.17.2.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.17.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.18
Löse nach auf.
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Schritt 2.18.1
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 2.18.1.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.1.1.1
Forme um.
Schritt 2.18.1.1.2
Schreibe als um.
Schritt 2.18.1.1.3
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
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Schritt 2.18.1.1.3.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.18.1.1.3.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.18.1.1.3.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.18.1.1.4
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
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Schritt 2.18.1.1.4.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.1.1.4.1.1
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.1.1.4.1.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.18.1.1.4.1.1.2
Potenziere mit .
Schritt 2.18.1.1.4.1.1.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.18.1.1.4.1.1.4
Addiere und .
Schritt 2.18.1.1.4.1.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.1.1.4.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.18.1.1.4.1.2.2
Potenziere mit .
Schritt 2.18.1.1.4.1.2.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.18.1.1.4.1.2.4
Addiere und .
Schritt 2.18.1.1.4.2
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 2.18.1.1.4.3
Addiere und .
Schritt 2.18.1.1.5
Bewege .
Schritt 2.18.1.1.6
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 2.18.1.1.7
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.18.1.1.7.1
Stelle und um.
Schritt 2.18.1.1.7.2
Stelle und um.
Schritt 2.18.1.1.7.3
Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.
Schritt 2.18.2
Ersetze durch .
Schritt 2.18.3
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.18.4
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.18.5
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 2.18.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.18.5.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.18.5.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.18.6
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 2.18.6.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.18.6.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 2.18.6.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.18.6.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.18.6.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.18.6.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.18.6.3.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.18.6.3.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 2.18.6.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.18.6.3.2.2
Schreibe als um.
Schritt 2.18.6.3.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.18.6.3.2.4
Stelle die Terme um.
Schritt 2.18.6.3.2.5
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.18.6.3.2.6
Dividiere durch .
Schritt 2.18.7
Ersetze durch .
Schritt 2.18.8
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 2.18.9
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.18.9.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 2.18.10
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 2.18.10.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.18.10.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.10.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.10.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.18.10.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.18.10.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.10.3.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 2.18.10.3.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.10.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.18.10.3.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.18.11
Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 2.18.12
Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.
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Schritt 2.18.12.1
Subtrahiere von .
Schritt 2.18.12.2
Der resultierende Winkel von ist positiv, kleiner als und gleich .
Schritt 2.18.12.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.12.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.18.12.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.12.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.12.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.18.12.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.18.12.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.12.3.3.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 2.18.12.3.3.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.12.3.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.18.12.3.3.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.18.13
Ermittele die Periode von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.13.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 2.18.13.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 2.18.13.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 2.18.13.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.13.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.18.13.4.2
Dividiere durch .
Schritt 2.18.14
Addiere zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.14.1
Addiere zu , um den positiven Winkel zu bestimmen.
Schritt 2.18.14.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.18.14.3
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.14.3.1
Kombiniere und .
Schritt 2.18.14.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.18.14.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.14.4.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.18.14.4.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.18.14.5
Liste die neuen Winkel auf.
Schritt 2.18.15
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 3
Ersetze durch , um die endgültige Lösung anzuzeigen.
Schritt 4
Überprüfe, ob die Umkehrfunktion von ist.
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Schritt 4.1
Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von und und vergleiche sie.
Schritt 4.2
Finde den Wertebereich von .
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Schritt 4.2.1
Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.
Intervallschreibweise:
Schritt 4.3
Bestimme den Definitionsbereich von .
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Schritt 4.3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4.4
Da die Definitionsbereich von nicht gleich dem Wertebereich von ist, ist keine inverse Funktion von .
Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)
Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)
Schritt 5