Trigonometrie Beispiele

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} = x$ um.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (y)$ .

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{\cos (y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Schritt 2.3

Separiere Brüche.

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Schritt 2.4

Wandle von $\frac{1}{\cos (y)}$ nach $\sec (y)$ um.

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}}{1} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

Schritt 2.5

Dividiere $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)}$ durch $1$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + 2 \sin (y) \cos (y)} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

Schritt 2.6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} \cdot \sec (y) = \frac{x}{\cos (y)}$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Kombiniere $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)}$ und $\sec (y)$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2} \sec (y)}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Schritt 2.7.2

Stelle die Faktoren in $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2} \sec (y)}{1 + \sin (2 y)}$ um.

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{\cos (y)}$

Schritt 2.8

Separiere Brüche.

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\cos (y)}$

Schritt 2.9

Wandle von $\frac{1}{\cos (y)}$ nach $\sec (y)$ um.

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \frac{x}{1} \cdot \sec (y)$

Schritt 2.10

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Schritt 2.11

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache $\frac{\sec (y) {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)}$ .

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Schritt 2.11.1.1

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\cos (y)} {(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Schritt 2.11.1.2

Kombiniere $\frac{1}{\cos (y)}$ und ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ .

$\frac{\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)}}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Schritt 2.11.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (2 y)} = x \sec (y)$

Schritt 2.11.1.4

Mutltipliziere $\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y)}$ mit $\frac{1}{1 + \sin (2 y)}$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = x \sec (y)$

Schritt 2.12

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.12.1

Vereinfache $x \sec (y)$ .

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Schritt 2.12.1.1

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = x \frac{1}{\cos (y)}$

Schritt 2.12.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \frac{x}{\cos (y)}$

Schritt 2.13

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (y)$ .

$\cos (y) \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Schritt 2.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y)$ .

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Schritt 2.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (y) \frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{\cos (y) (1 + \sin (2 y))} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Schritt 2.14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Schritt 2.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y)$ .

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Schritt 2.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = \cos (y) \frac{x}{\cos (y)}$

Schritt 2.15.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} = x$

Schritt 2.16

Multipliziere beide Seiten mit $1 + \sin (2 y)$ .

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} (1 + \sin (2 y)) = x (1 + \sin (2 y))$

Schritt 2.17

Vereinfache.

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Schritt 2.17.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.17.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \sin (2 y)$ .

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Schritt 2.17.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(\sin (y) + \cos (y))}^{2}}{1 + \sin (2 y)} (1 + \sin (2 y)) = x (1 + \sin (2 y))$

Schritt 2.17.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x (1 + \sin (2 y))$

Schritt 2.17.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.17.2.1

Vereinfache $x (1 + \sin (2 y))$ .

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Schritt 2.17.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x \cdot 1 + x \sin (2 y)$

Schritt 2.17.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

${(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.18.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.18.1.1

Vereinfache ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ .

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Schritt 2.18.1.1.1

Forme um.

$0 + 0 + {(\sin (y) + \cos (y))}^{2} = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.2

Schreibe ${(\sin (y) + \cos (y))}^{2}$ als $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ um.

$(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.3

Multipliziere $(\sin (y) + \cos (y)) (\sin (y) + \cos (y))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.18.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (y) (\sin (y) + \cos (y)) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) (\sin (y) + \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.18.1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.18.1.1.4.1.1

Multipliziere $\sin (y) \sin (y)$ .

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Schritt 2.18.1.1.4.1.1.1

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (y) \sin (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.4.1.1.2

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (y) \sin^{1} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.4.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (y)}^{1 + 1} + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.4.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.4.1.2

Multipliziere $\cos (y) \cos (y)$ .

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Schritt 2.18.1.1.4.1.2.1

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.4.1.2.2

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (y) \cos^{1} (y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.4.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + {\cos (y)}^{1 + 1} = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.4.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (y) + \sin (y) \cos (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.4.2

Stelle die Faktoren von $\sin (y) \cos (y)$ um.

$\sin^{2} (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.4.3

Addiere $\cos (y) \sin (y)$ und $\cos (y) \sin (y)$ .

$\sin^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.5

Bewege $\cos^{2} (y)$ .

$\sin^{2} (y) + \cos^{2} (y) + 2 \cos (y) \sin (y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + 2 \cos (y) \sin (y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.18.1.1.7.1

Stelle $2 \cos (y)$ und $\sin (y)$ um.

$1 + \sin (y) (2 \cos (y)) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.7.2

Stelle $\sin (y)$ und $2$ um.

$1 + 2 \cdot \sin (y) \cos (y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.1.1.7.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$1 + \sin (2 y) = x + x \sin (2 y)$

Schritt 2.18.2

Ersetze $\sin (2 y)$ durch $u$ .

$1 + u = x + x (u)$

Schritt 2.18.3

Subtrahiere $x u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 + u - x u = x$

Schritt 2.18.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u - x u = x - 1$

Schritt 2.18.5

Faktorisiere $u$ aus $u - x u$ heraus.

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Schritt 2.18.5.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

Schritt 2.18.5.2

Faktorisiere $u$ aus $- x u$ heraus.

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

Schritt 2.18.5.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 1 + u (- x)$ heraus.

$u (1 - x) = x - 1$

Schritt 2.18.6

Teile jeden Ausdruck in $u (1 - x) = x - 1$ durch $1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 2.18.6.1

Teile jeden Ausdruck in $u (1 - x) = x - 1$ durch $1 - x$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Schritt 2.18.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.18.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 2.18.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Schritt 2.18.6.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Schritt 2.18.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.18.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

Schritt 2.18.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 1$ und $1 - x$ .

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Schritt 2.18.6.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Schritt 2.18.6.3.2.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Schritt 2.18.6.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (1)$ heraus.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Schritt 2.18.6.3.2.4

Stelle die Terme um.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Schritt 2.18.6.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Schritt 2.18.6.3.2.6

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$u = - 1$

Schritt 2.18.7

Ersetze $u$ durch $\sin (2 y)$ .

$\sin (2 y) = - 1$

Schritt 2.18.8

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 y = \arcsin (- 1)$

Schritt 2.18.9

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.18.9.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$2 y = - \frac{π}{2}$

Schritt 2.18.10

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.18.10.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.18.10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.18.10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.18.10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.18.10.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.18.10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.18.10.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.18.10.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.18.10.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$y = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.18.10.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = - \frac{π}{4}$

Schritt 2.18.11

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 y = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 2.18.12

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.18.12.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 y = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 2.18.12.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 y = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.18.12.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.18.12.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.18.12.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.18.12.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.18.12.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.18.12.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.18.12.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.18.12.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.18.12.3.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.18.12.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.18.12.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.18.13

Ermittele die Periode von $\sin (2 y)$ .

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Schritt 2.18.13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.18.13.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 2.18.13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.18.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.18.13.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.18.13.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.18.14

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.18.14.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 2.18.14.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.18.14.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.18.14.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.18.14.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 2.18.14.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.18.14.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 2.18.14.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 2.18.14.5

Liste die neuen Winkel auf.

$y = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.18.15

Die Periode der Funktion $\sin (2 y)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ .

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Schritt 4.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 π}{4} + π n$ .

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Schritt 4.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ keine inverse Funktion von $f (x) = \frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{1 + 2 \sin (x) \cos (x)}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 5