Trigonometrie Beispiele

{(y - 2)}^{2} = 3 (x + 1)

${(y - 2)}^{2} = 3 (x + 1)$

Schritt 1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

y - 2 = \pm \sqrt{3 (x + 1)}

$y - 2 = \pm \sqrt{3 (x + 1)}$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

y - 2 = \sqrt{3 (x + 1)}

$y - 2 = \sqrt{3 (x + 1)}$

Schritt 2.2

Addiere

2

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Schritt 2.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

y - 2 = - \sqrt{3 (x + 1)}

$y - 2 = - \sqrt{3 (x + 1)}$

Schritt 2.4

Addiere

2

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Schritt 2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Schritt 3

Tausche die Variablen aus. Erstelle für jeden Ausdruck eine Gleichung.

x = \sqrt{3 (y + 1)} + 2, x = - \sqrt{3 (y + 1)} + 2

$x = \sqrt{3 (y + 1)} + 2, x = - \sqrt{3 (y + 1)} + 2$

Schritt 4

Löse nach

y

$y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als

\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x

$\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$ um.

\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x

$\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$

Schritt 4.2

Subtrahiere

2

$2$ von beiden Seiten der Gleichung.

\sqrt{3 (y + 1)} = x - 2

$\sqrt{3 (y + 1)} = x - 2$

Schritt 4.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

{\sqrt{3 (y + 1)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}

${\sqrt{3 (y + 1)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{3 (y + 1)}

$\sqrt{3 (y + 1)}$ als

{(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}}

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

{({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache

{({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in

{({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

{(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

{(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}

${(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

{(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}

${(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

{(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}

${(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

{(3 y + 3 \cdot 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}

${(3 y + 3 \cdot 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.4.2.1.3.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

1

$1$ .

{(3 y + 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}

${(3 y + 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.3.2

Vereinfache.

3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Vereinfache

{(x - 2)}^{2}

${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 4.4.3.1.1

Schreibe

{(x - 2)}^{2}

${(x - 2)}^{2}$ als

(x - 2) (x - 2)

$(x - 2) (x - 2)$ um.

3 y + 3 = (x - 2) (x - 2)

$3 y + 3 = (x - 2) (x - 2)$

Schritt 4.4.3.1.2

Multipliziere

(x - 2) (x - 2)

$(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

3 y + 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)

$3 y + 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Schritt 4.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Schritt 4.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

3 y + 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2

$3 y + 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.4.3.1.3.1.2

Bringe

- 2

$- 2$ auf die linke Seite von

x

$x$ .

3 y + 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2

$3 y + 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

- 2

$- 2$ .

3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4

$3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4

$3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Schritt 4.4.3.1.3.2

Subtrahiere

2 x

$2 x$ von

- 2 x

$- 2 x$ .

3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 4.5

Löse nach

y

$y$ auf.

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Schritt 4.5.1

Bringe alle Terme, die nicht

y

$y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.1.1

Subtrahiere

3

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

3 y = x^{2} - 4 x + 4 - 3

$3 y = x^{2} - 4 x + 4 - 3$

Schritt 4.5.1.2

Subtrahiere

3

$3$ von

4

$4$ .

3 y = x^{2} - 4 x + 1

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$

3 y = x^{2} - 4 x + 1

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$

Schritt 4.5.2

Teile jeden Ausdruck in

3 y = x^{2} - 4 x + 1

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$ durch

3

$3$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in

3 y = x^{2} - 4 x + 1

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$ durch

3

$3$ .

\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 4.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 4.5.2.2.1.2

Dividiere

y

$y$ durch

1

$1$ .

y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 4.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 5

Ersetze

y

$y$ durch

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 6

Überprüfe, ob

f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ die Umkehrfunktion von

f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2

$f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von

f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2

$f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ und

f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ und vergleiche sie.

Schritt 6.2

Finde den Wertebereich von

f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2

$f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Schritt 6.2.1

Finde den Wertebereich von

\sqrt{3 (x + 1)} + 2

$\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen

y

$y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

[2, \infty)

$[2, \infty)$

[2, \infty)

$[2, \infty)$

Schritt 6.2.2

Finde den Wertebereich von

- \sqrt{3 (x + 1)} + 2

$- \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Schritt 6.2.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen

y

$y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

(- \infty, 2]

$(- \infty, 2]$

(- \infty, 2]

$(- \infty, 2]$

Schritt 6.2.3

Finde die Union (Vereinigung) von

[2, \infty), (- \infty, 2]

$[2, \infty), (- \infty, 2]$ .

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Schritt 6.2.3.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Schritt 6.3

Bestimme den Definitionsbereich von

\sqrt{3 (x + 1)} + 2

$\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Schritt 6.3.1

Setze den Radikanden in

\sqrt{3 (x + 1)}

$\sqrt{3 (x + 1)}$ größer als oder gleich

0

$0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

3 (x + 1) \geq 0

$3 (x + 1) \geq 0$

Schritt 6.3.2

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in

3 (x + 1) \geq 0

$3 (x + 1) \geq 0$ durch

3

$3$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in

3 (x + 1) \geq 0

$3 (x + 1) \geq 0$ durch

3

$3$ .

\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 6.3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 6.3.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 6.3.2.1.2.1.2

Dividiere

x + 1

$x + 1$ durch

1

$1$ .

x + 1 \geq \frac{0}{3}

$x + 1 \geq \frac{0}{3}$

x + 1 \geq \frac{0}{3}

$x + 1 \geq \frac{0}{3}$

x + 1 \geq \frac{0}{3}

$x + 1 \geq \frac{0}{3}$

Schritt 6.3.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.3.1

Dividiere

0

$0$ durch

3

$3$ .

x + 1 \geq 0

$x + 1 \geq 0$

x + 1 \geq 0

$x + 1 \geq 0$

x + 1 \geq 0

$x + 1 \geq 0$

Schritt 6.3.2.2

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

x \geq - 1

$x \geq - 1$

x \geq - 1

$x \geq - 1$

Schritt 6.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von

x

$x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

[- 1, \infty)

$[- 1, \infty)$

[- 1, \infty)

$[- 1, \infty)$

Schritt 6.4

Da der Definitionsbereich von

f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ der Wertebereich von

f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2

$f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ ist und der Wertebereich von

f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ der Definitionsbereich von

f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2

$f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ ist, ist

f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ die inverse Funktion von

f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2

$f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 7