Trigonometrie Beispiele

${(y - 2)}^{2} = 3 (x + 1)$

Schritt 1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 2 = \pm \sqrt{3 (x + 1)}$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 2 = \sqrt{3 (x + 1)}$

Schritt 2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Schritt 2.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 2 = - \sqrt{3 (x + 1)}$

Schritt 2.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Schritt 2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

Schritt 3

Tausche die Variablen aus. Erstelle für jeden Ausdruck eine Gleichung.

$x = \sqrt{3 (y + 1)} + 2, x = - \sqrt{3 (y + 1)} + 2$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$ um.

$\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 (y + 1)} = x - 2$

Schritt 4.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 (y + 1)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 (y + 1)}$ als ${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(3 y + 3 \cdot 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

${(3 y + 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.3.2

Vereinfache.

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Vereinfache ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 4.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$3 y + 3 = (x - 2) (x - 2)$

Schritt 4.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Schritt 4.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Schritt 4.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Schritt 4.4.3.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 4.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = x^{2} - 4 x + 4 - 3$

Schritt 4.5.1.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$

Schritt 4.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{2} - 4 x + 1$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 4.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 4.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 5

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ und $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ und vergleiche sie.

Schritt 6.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Schritt 6.2.1

Finde den Wertebereich von $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[2, \infty)$

Schritt 6.2.2

Finde den Wertebereich von $- \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Schritt 6.2.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2]$

Schritt 6.2.3

Finde die Union (Vereinigung) von $[2, \infty), (- \infty, 2]$ .

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Schritt 6.2.3.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 6.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

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Schritt 6.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 (x + 1)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 (x + 1) \geq 0$

Schritt 6.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x + 1) \geq 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x + 1) \geq 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 6.3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 6.3.2.1.2.1.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$x + 1 \geq \frac{0}{3}$

Schritt 6.3.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x + 1 \geq 0$

Schritt 6.3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 1$

Schritt 6.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 1, \infty)$

Schritt 6.4

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ der Wertebereich von $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ der Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ die inverse Funktion von $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 7