Trigonometrie Beispiele

${(4 - \cos (10 x))}^{- 11}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = {(4 - \cos (10 y))}^{- 11}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als ${(4 - \cos (10 y))}^{- 11} = x$ um.

${(4 - \cos (10 y))}^{- 11} = x$

Schritt 2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(4 - \cos (10 y))}^{11}} = x$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

${(4 - \cos (10 y))}^{11}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

${(4 - \cos (10 y))}^{11}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{{(4 - \cos (10 y))}^{11}} = x$ mit ${(4 - \cos (10 y))}^{11}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{{(4 - \cos (10 y))}^{11}} = x$ mit ${(4 - \cos (10 y))}^{11}$ .

$\frac{1}{{(4 - \cos (10 y))}^{11}} {(4 - \cos (10 y))}^{11} = x {(4 - \cos (10 y))}^{11}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(4 - \cos (10 y))}^{11}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(4 - \cos (10 y))}^{11}} {(4 - \cos (10 y))}^{11} = x {(4 - \cos (10 y))}^{11}$

Schritt 2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = x {(4 - \cos (10 y))}^{11}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $x {(4 - \cos (10 y))}^{11} = 1$ um.

$x {(4 - \cos (10 y))}^{11} = 1$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $x {(4 - \cos (10 y))}^{11} = 1$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x {(4 - \cos (10 y))}^{11} = 1$ durch $x$ .

$\frac{x {(4 - \cos (10 y))}^{11}}{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x {(4 - \cos (10 y))}^{11}}{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere ${(4 - \cos (10 y))}^{11}$ durch $1$ .

${(4 - \cos (10 y))}^{11} = \frac{1}{x}$

Schritt 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$4 - \cos (10 y) = \sqrt[11]{\frac{1}{x}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache $\sqrt[11]{\frac{1}{x}}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Schreibe $\sqrt[11]{\frac{1}{x}}$ als $\frac{\sqrt[11]{1}}{\sqrt[11]{x}}$ um.

$4 - \cos (10 y) = \frac{\sqrt[11]{1}}{\sqrt[11]{x}}$

Schritt 2.5.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{1}{\sqrt[11]{x}}$

Schritt 2.5.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[11]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{\sqrt[11]{x}}^{10}}$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{1}{\sqrt[11]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{\sqrt[11]{x}}^{10}}$

Schritt 2.5.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[11]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{\sqrt[11]{x}}^{10}}$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{\sqrt[11]{x} {\sqrt[11]{x}}^{10}}$

Schritt 2.5.4.4.2

Potenziere $\sqrt[11]{x}$ mit $1$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{\sqrt[11]{x}}^{1} {\sqrt[11]{x}}^{10}}$

Schritt 2.5.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{\sqrt[11]{x}}^{1 + 10}}$

Schritt 2.5.4.4.4

Addiere $1$ und $10$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{\sqrt[11]{x}}^{11}}$

Schritt 2.5.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[11]{x}}^{11}$ als $x$ um.

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Schritt 2.5.4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[11]{x}$ als $x^{\frac{1}{11}}$ neu zu schreiben.

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{{(x^{\frac{1}{11}})}^{11}}$

Schritt 2.5.4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{x^{\frac{1}{11} \cdot 11}}$

Schritt 2.5.4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{11}$ und $11$ .

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{x^{\frac{11}{11}}}$

Schritt 2.5.4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 2.5.4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{x^{\frac{11}{11}}}$

Schritt 2.5.4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{x^{1}}$

Schritt 2.5.4.4.5.5

Vereinfache.

$4 - \cos (10 y) = \frac{{\sqrt[11]{x}}^{10}}{x}$

Schritt 2.5.4.5

Schreibe ${\sqrt[11]{x}}^{10}$ als $\sqrt[11]{x^{10}}$ um.

$4 - \cos (10 y) = \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}$

Schritt 2.5.5

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (10 y) = \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} - 4$

Schritt 2.5.6

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (10 y) = \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (10 y) = \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (10 y)}{- 1} = \frac{\frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (10 y)}{1} = \frac{\frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.5.6.2.2

Dividiere $\cos (10 y)$ durch $1$ .

$\cos (10 y) = \frac{\frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.6.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}}{- 1}$ .

$\cos (10 y) = - 1 \cdot \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.5.6.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}$ als $- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x}$ um.

$\cos (10 y) = - \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.5.6.3.1.3

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$\cos (10 y) = - \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4$

Schritt 2.6

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$10 y = \arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)$

Schritt 2.7

Teile jeden Ausdruck in $10 y = \arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y = \arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)$ durch $10$ .

$\frac{10 y}{10} = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 2.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y}{10} = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$

Schritt 2.7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(4 - \cos (10 x))}^{- 11}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{{({(4 - \cos (10 x))}^{- 11})}^{10}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - \cos (10 x))}^{- 11})}^{10}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11 \cdot 10}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Schritt 4.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 11$ mit $10$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{{(4 - \cos (10 x))}^{- 110}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{\frac{1}{{(4 - \cos (10 x))}^{110}}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe $1$ als $1^{11}$ um.

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{\frac{1^{11}}{{(4 - \cos (10 x))}^{110}}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe ${(4 - \cos (10 x))}^{110}$ als ${({(4 - \cos (10 x))}^{10})}^{11}$ um.

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{\frac{1^{11}}{{({(4 - \cos (10 x))}^{10})}^{11}}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Schritt 4.2.3.5

Schreibe $\frac{1^{11}}{{({(4 - \cos (10 x))}^{10})}^{11}}$ als ${(\frac{1}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}})}^{11}$ um.

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{{(\frac{1}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}})}^{11}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Schritt 4.2.3.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{\frac{1}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}}}{{(4 - \cos (10 x))}^{- 11}} + 4)}{10}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1.1

Bringe ${(4 - \cos (10 x))}^{- 11}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- (\frac{1}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}} \cdot {(4 - \cos (10 x))}^{11}) + 4)}{10}$

Schritt 4.2.4.1.2

Kombiniere $\frac{1}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}}$ und ${(4 - \cos (10 x))}^{11}$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{{(4 - \cos (10 x))}^{11}}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}} + 4)}{10}$

Schritt 4.2.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(4 - \cos (10 x))}^{11}$ und ${(4 - \cos (10 x))}^{10}$ .

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Schritt 4.2.4.1.3.1

Faktorisiere ${(4 - \cos (10 x))}^{10}$ aus ${(4 - \cos (10 x))}^{11}$ heraus.

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{{(4 - \cos (10 x))}^{10} (4 - \cos (10 x))}{{(4 - \cos (10 x))}^{10}} + 4)}{10}$

Schritt 4.2.4.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.1.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{{(4 - \cos (10 x))}^{10} (4 - \cos (10 x))}{{(4 - \cos (10 x))}^{10} \cdot 1} + 4)}{10}$

Schritt 4.2.4.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{{(4 - \cos (10 x))}^{10} (4 - \cos (10 x))}{{(4 - \cos (10 x))}^{10} \cdot 1} + 4)}{10}$

Schritt 4.2.4.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- \frac{4 - \cos (10 x)}{1} + 4)}{10}$

Schritt 4.2.4.1.3.2.4

Dividiere $4 - \cos (10 x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- (4 - \cos (10 x)) + 4)}{10}$

Schritt 4.2.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- 1 \cdot 4 + \cos (10 x) + 4)}{10}$

Schritt 4.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- 4 + \cos (10 x) + 4)}{10}$

Schritt 4.2.4.1.6

Multipliziere $- - \cos (10 x)$ .

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Schritt 4.2.4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- 4 + 1 \cos (10 x) + 4)}{10}$

Schritt 4.2.4.1.6.2

Mutltipliziere $\cos (10 x)$ mit $1$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (- 4 + \cos (10 x) + 4)}{10}$

Schritt 4.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 4 + \cos (10 x) + 4$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (0 + \cos (10 x))}{10}$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $0$ und $\cos (10 x)$ .

$f^{- 1} ({(4 - \cos (10 x))}^{- 11}) = \frac{\arccos (\cos (10 x))}{10}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + \frac{4 x}{x})}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- \sqrt[11]{x^{10}} + 4 x}{x})}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[11]{x^{10}}$ als $x^{\frac{10}{11}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- x^{\frac{10}{11}} + 4 x}{x})}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.1.3.2

Faktorisiere $x^{\frac{10}{11}}$ aus $- x^{\frac{10}{11}} + 4 x$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1.3.2.1

Faktorisiere $x^{\frac{10}{11}}$ aus $- x^{\frac{10}{11}}$ heraus.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{x^{\frac{10}{11}} \cdot - 1 + 4 x}{x})}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.1.3.2.2

Faktorisiere $x^{\frac{10}{11}}$ aus $4 x$ heraus.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{x^{\frac{10}{11}} \cdot - 1 + x^{\frac{10}{11}} (4 x^{\frac{1}{11}})}{x})}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.1.3.2.3

Faktorisiere $x^{\frac{10}{11}}$ aus $x^{\frac{10}{11}} \cdot - 1 + x^{\frac{10}{11}} (4 x^{\frac{1}{11}})$ heraus.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{x^{\frac{10}{11}} (- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}})}{x})}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.1.4

Bringe $x^{\frac{10}{11}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x \cdot x^{- \frac{10}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{10}{11}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{10}{11}}$ .

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Schritt 4.3.3.1.5.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x \cdot x^{- \frac{10}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.1.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{1 - \frac{10}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.1.5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{11}{11} - \frac{10}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{11 - 10}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.1.5.4

Subtrahiere $10$ von $11$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (10 (\frac{\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}})}{10})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \cos (\arccos (\frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}})))}^{- 11}$

Schritt 4.3.3.3

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(4 - \frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Schritt 4.3.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}}$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}} - \frac{- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Schritt 4.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{11}} - (- 1 + 4 x^{\frac{1}{11}})}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{11}} + 1 - (4 x^{\frac{1}{11}})}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Schritt 4.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{11}} + 1 - (4 x^{\frac{1}{11}})}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Schritt 4.3.6.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{11}} + 1 - 4 x^{\frac{1}{11}}}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Schritt 4.3.6.4

Subtrahiere $4 x^{\frac{1}{11}}$ von $4 x^{\frac{1}{11}}$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{0 + 1}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Schritt 4.3.6.5

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(\frac{1}{x^{\frac{1}{11}}})}^{- 11}$

Schritt 4.3.7

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = {(x^{\frac{1}{11}})}^{11}$

Schritt 4.3.8

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{11}})}^{11}$ .

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Schritt 4.3.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = x^{\frac{1}{11} \cdot 11}$

Schritt 4.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 4.3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = x^{\frac{1}{11} \cdot 11}$

Schritt 4.3.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(4 - \cos (10 x))}^{- 11}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{\sqrt[11]{x^{10}}}{x} + 4)}{10}$