Trigonometrie Beispiele

$\cos (2) x - \frac{π}{3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \cos (2) y - \frac{π}{3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (2) y - \frac{π}{3} = x$ um.

$\cos (2) y - \frac{π}{3} = x$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Berechne $\cos (2)$ .

$- 0.41614683 y - \frac{π}{3} = x$

Schritt 2.3

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 0.41614683 y = x + \frac{π}{3}$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $- 0.41614683 y = x + \frac{π}{3}$ durch $- 0.41614683$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.41614683 y = x + \frac{π}{3}$ durch $- 0.41614683$ .

$\frac{- 0.41614683 y}{- 0.41614683} = \frac{x}{- 0.41614683} + \frac{\frac{π}{3}}{- 0.41614683}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.41614683$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.41614683 y}{- 0.41614683} = \frac{x}{- 0.41614683} + \frac{\frac{π}{3}}{- 0.41614683}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{- 0.41614683} + \frac{\frac{π}{3}}{- 0.41614683}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{0.41614683} + \frac{\frac{π}{3}}{- 0.41614683}$

Schritt 2.4.3.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$y = - \frac{1 x}{0.41614683} + \frac{\frac{π}{3}}{- 0.41614683}$

Schritt 2.4.3.1.3

Faktorisiere $0.41614683$ aus $0.41614683$ heraus.

$y = - \frac{1 x}{0.41614683 (1)} + \frac{\frac{π}{3}}{- 0.41614683}$

Schritt 2.4.3.1.4

Separiere Brüche.

$y = - (\frac{1}{0.41614683} \cdot \frac{x}{1}) + \frac{\frac{π}{3}}{- 0.41614683}$

Schritt 2.4.3.1.5

Dividiere $1$ durch $0.41614683$ .

$y = - (2.40299796 \frac{x}{1}) + \frac{\frac{π}{3}}{- 0.41614683}$

Schritt 2.4.3.1.6

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = - (2.40299796 x) + \frac{\frac{π}{3}}{- 0.41614683}$

Schritt 2.4.3.1.7

Mutltipliziere $2.40299796$ mit $- 1$ .

$y = - 2.40299796 x + \frac{\frac{π}{3}}{- 0.41614683}$

Schritt 2.4.3.1.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - 2.40299796 x + \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{- 0.41614683}$

Schritt 2.4.3.1.9

Dividiere $1$ durch $- 0.41614683$ .

$y = - 2.40299796 x + \frac{π}{3} \cdot - 2.40299796$

Schritt 2.4.3.1.10

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot - 2.40299796$ .

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Schritt 2.4.3.1.10.1

Kombiniere $\frac{π}{3}$ und $- 2.40299796$ .

$y = - 2.40299796 x + \frac{π \cdot - 2.40299796}{3}$

Schritt 2.4.3.1.10.2

Mutltipliziere $π$ mit $- 2.40299796$ .

$y = - 2.40299796 x + \frac{- 7.54924074}{3}$

Schritt 2.4.3.1.11

Dividiere $- 7.54924074$ durch $3$ .

$y = - 2.40299796 x - 2.51641358$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - 2.40299796 x - 2.51641358$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - 2.40299796 x - 2.51641358$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \cos (2) x - \frac{π}{3}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\cos (2) x - \frac{π}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (2) x - \frac{π}{3}) = - 2.40299796 (\cos (2) x - \frac{π}{3}) - 2.51641358$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Berechne $\cos (2)$ .

$f^{- 1} (\cos (2) x - \frac{π}{3}) = - 2.40299796 (- 0.41614683 x - \frac{π}{3}) - 2.51641358$

Schritt 4.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\cos (2) x - \frac{π}{3}) = - 2.40299796 (- 0.41614683 x) - 2.40299796 (- \frac{π}{3}) - 2.51641358$

Schritt 4.2.3.3

Multipliziere $- 2.40299796 (- 0.41614683 x)$ .

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Schritt 4.2.3.3.1

Mutltipliziere $- 0.41614683$ mit $- 2.40299796$ .

$f^{- 1} (\cos (2) x - \frac{π}{3}) = 1 x - 2.40299796 (- \frac{π}{3}) - 2.51641358$

Schritt 4.2.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\cos (2) x - \frac{π}{3}) = x - 2.40299796 (- \frac{π}{3}) - 2.51641358$

Schritt 4.2.3.4

Multipliziere $- 2.40299796 (- \frac{π}{3})$ .

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Schritt 4.2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2.40299796$ .

$f^{- 1} (\cos (2) x - \frac{π}{3}) = x + 2.40299796 (\frac{π}{3}) - 2.51641358$

Schritt 4.2.3.4.2

Kombiniere $2.40299796$ und $\frac{π}{3}$ .

$f^{- 1} (\cos (2) x - \frac{π}{3}) = x + \frac{2.40299796 π}{3} - 2.51641358$

Schritt 4.2.3.4.3

Mutltipliziere $2.40299796$ mit $π$ .

$f^{- 1} (\cos (2) x - \frac{π}{3}) = x + \frac{7.54924074}{3} - 2.51641358$

Schritt 4.2.3.5

Dividiere $7.54924074$ durch $3$ .

$f^{- 1} (\cos (2) x - \frac{π}{3}) = x + 2.51641358 - 2.51641358$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2.51641358 - 2.51641358$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $2.51641358$ von $2.51641358$ .

$f^{- 1} (\cos (2) x - \frac{π}{3}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\cos (2) x - \frac{π}{3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- 2.40299796 x - 2.51641358)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- 2.40299796 x - 2.51641358) = \cos (2) (- 2.40299796 x - 2.51641358) - \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Berechne $\cos (2)$ .

$f (- 2.40299796 x - 2.51641358) = - 0.41614683 (- 2.40299796 x - 2.51641358) - \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2.40299796 x - 2.51641358) = - 0.41614683 (- 2.40299796 x) - 0.41614683 \cdot - 2.51641358 - \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.3.3

Multipliziere $- 0.41614683 (- 2.40299796 x)$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Mutltipliziere $- 2.40299796$ mit $- 0.41614683$ .

$f (- 2.40299796 x - 2.51641358) = 1 x - 0.41614683 \cdot - 2.51641358 - \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- 2.40299796 x - 2.51641358) = x - 0.41614683 \cdot - 2.51641358 - \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $- 0.41614683$ mit $- 2.51641358$ .

$f (- 2.40299796 x - 2.51641358) = x + 1.04719755 - \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von $1.04719755$ .

$f (- 2.40299796 x - 2.51641358) = x 0$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - 2.40299796 x - 2.51641358$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \cos (2) x - \frac{π}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - 2.40299796 x - 2.51641358$