Trigonometrie Beispiele

Ermittle die Umkehrfunktion cos(arcsin(7x))
Schritt 1
Vertausche die Variablen.
Schritt 2
Löse nach auf.
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Schritt 2.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 2.2
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 2.3
Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um aus dem Arcussinus zu ziehen.
Schritt 2.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.4.1
Vereinfache .
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Schritt 2.4.1.1
Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.
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Schritt 2.4.1.1.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 2.4.1.1.2
Schreibe als um.
Schritt 2.4.1.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 2.5
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 2.5.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.5.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 2.5.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.5.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.5.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3
Replace with to show the final answer.
Schritt 4
Überprüfe, ob die Umkehrfunktion von ist.
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Schritt 4.1
Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob ist und ist.
Schritt 4.2
Berechne .
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Schritt 4.2.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 4.2.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 4.2.3
Entferne die Klammern.
Schritt 4.2.4
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 4.2.4.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.2.4.2
Schreibe als um.
Schritt 4.2.4.3
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.2.4.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.4.5
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.2.4.6
Schreibe als um.
Schritt 4.2.4.7
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.2.4.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3
Berechne .
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Schritt 4.3.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 4.3.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 4.3.3
Kombiniere Brüche.
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Schritt 4.3.3.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.3.3.2
Schreibe als um.
Schritt 4.3.4
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.3.5
Vereinfache.
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Schritt 4.3.5.1
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.5.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.5.3
Schreibe in eine faktorisierte Form um.
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Schritt 4.3.5.3.1
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 4.3.5.3.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.5.3.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.5.3.2
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 4.3.5.3.2.1
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 4.3.5.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.5.3.2.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.5.3.2.2
Dividiere durch .
Schritt 4.3.5.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.3.5.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.5.4.2
Dividiere durch .
Schritt 4.4
Da und gleich sind, ist die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von .