Gib eine Aufgabe ein ...
Trigonometrie Beispiele
Schritt 1
Vertausche die Variablen.
Schritt 2
Schritt 2.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 2.2
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 2.3
Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um aus dem Arcussinus zu ziehen.
Schritt 2.4
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 2.4.1
Vereinfache .
Schritt 2.4.1.1
Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.
Schritt 2.4.1.1.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 2.4.1.1.2
Schreibe als um.
Schritt 2.4.1.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 2.5
Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.
Schritt 2.5.1
Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.
Schritt 2.5.2
Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.
Schritt 2.6
Multipliziere jeden Term in mit um die Brüche zu eliminieren.
Schritt 2.6.1
Multipliziere jeden Term in mit .
Schritt 2.6.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 2.6.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.6.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.6.2.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.7
Löse die Gleichung.
Schritt 2.7.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 2.7.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 2.7.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.7.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 2.7.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.7.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.7.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.7.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 2.7.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.7.2.3.2
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 2.7.2.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.7.2.3.2.2
Potenziere mit .
Schritt 2.7.2.3.2.3
Potenziere mit .
Schritt 2.7.2.3.2.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.7.2.3.2.5
Addiere und .
Schritt 2.7.2.3.2.6
Schreibe als um.
Schritt 2.7.2.3.2.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 2.7.2.3.2.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.7.2.3.2.6.3
Kombiniere und .
Schritt 2.7.2.3.2.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.7.2.3.2.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.7.2.3.2.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.7.2.3.2.6.5
Vereinfache.
Schritt 3
Replace with to show the final answer.
Schritt 4
Schritt 4.1
Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob ist und ist.
Schritt 4.2
Berechne .
Schritt 4.2.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 4.2.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 4.2.3
Entferne die Klammern.
Schritt 4.2.4
Vereinfache den Zähler.
Schritt 4.2.4.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.2.4.2
Schreibe als um.
Schritt 4.2.4.3
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.2.4.4
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.4.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.4.6
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.4.7
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.4.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.4.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.4.10
Schreibe als um.
Schritt 4.2.4.10.1
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.2.4.10.2
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.2.4.10.3
Ordne den Bruch um.
Schritt 4.2.4.11
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.2.4.12
Kombiniere und .
Schritt 4.2.4.13
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.4.14
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.4.15
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.2.4.16
Schreibe als um.
Schritt 4.2.4.17
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.2.4.18
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.4.19
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.4.20
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.4.21
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.4.22
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.4.23
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.4.24
Schreibe als um.
Schritt 4.2.4.24.1
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.2.4.24.2
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.2.4.24.3
Ordne den Bruch um.
Schritt 4.2.4.25
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.2.4.26
Kombiniere und .
Schritt 4.2.4.27
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.4.28
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.4.29
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.4.30
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.4.31
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 4.2.4.31.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.4.31.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.4.31.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.4.32
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Schritt 4.2.4.32.1
Ordne die Faktoren in den Termen und neu an.
Schritt 4.2.4.32.2
Addiere und .
Schritt 4.2.4.32.3
Addiere und .
Schritt 4.2.4.33
Vereinfache jeden Term.
Schritt 4.2.4.33.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.4.33.2
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 4.2.4.33.3
Multipliziere .
Schritt 4.2.4.33.3.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2.4.33.3.2
Potenziere mit .
Schritt 4.2.4.33.3.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.2.4.33.3.4
Addiere und .
Schritt 4.2.4.33.4
Schreibe als um.
Schritt 4.2.4.33.4.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.2.4.33.4.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.2.4.33.4.3
Kombiniere und .
Schritt 4.2.4.33.4.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.2.4.33.4.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.4.33.4.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.4.33.4.5
Vereinfache.
Schritt 4.2.4.33.5
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 4.2.4.33.5.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.4.33.5.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.4.33.5.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.4.33.6
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Schritt 4.2.4.33.6.1
Ordne die Faktoren in den Termen und neu an.
Schritt 4.2.4.33.6.2
Addiere und .
Schritt 4.2.4.33.6.3
Addiere und .
Schritt 4.2.4.33.7
Vereinfache jeden Term.
Schritt 4.2.4.33.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.4.33.7.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.4.33.8
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.4.33.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.4.34
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.4.35
Addiere und .
Schritt 4.2.4.36
Schreibe als um.
Schritt 4.2.4.37
Schreibe als um.
Schritt 4.2.4.38
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 4.2.5
Vereinfache den Nenner.
Schritt 4.2.5.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.2.5.2
Schreibe als um.
Schritt 4.2.5.3
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.2.5.4
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.5.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.5.6
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.5.7
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.5.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.5.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.5.10
Schreibe als um.
Schritt 4.2.5.10.1
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.2.5.10.2
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.2.5.10.3
Ordne den Bruch um.
Schritt 4.2.5.11
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.2.5.12
Kombiniere und .
Schritt 4.2.5.13
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.5.14
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.5.15
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.2.5.16
Schreibe als um.
Schritt 4.2.5.17
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.2.5.18
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.5.19
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.5.20
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.5.21
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.5.22
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.5.23
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.5.24
Schreibe als um.
Schritt 4.2.5.24.1
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.2.5.24.2
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.2.5.24.3
Ordne den Bruch um.
Schritt 4.2.5.25
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.2.5.26
Kombiniere und .
Schritt 4.2.5.27
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.5.28
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.6
Kombiniere Brüche.
Schritt 4.2.6.1
Kombiniere und .
Schritt 4.2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.6.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.7
Vereinfache den Nenner.
Schritt 4.2.7.1
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.2.7.2
Addiere und .
Schritt 4.2.8
Vereinfache den Nenner.
Schritt 4.2.8.1
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 4.2.8.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.8.1.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.8.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.8.2
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Schritt 4.2.8.2.1
Ordne die Faktoren in den Termen und neu an.
Schritt 4.2.8.2.2
Addiere und .
Schritt 4.2.8.2.3
Addiere und .
Schritt 4.2.8.3
Vereinfache jeden Term.
Schritt 4.2.8.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.8.3.2
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 4.2.8.3.3
Multipliziere .
Schritt 4.2.8.3.3.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2.8.3.3.2
Potenziere mit .
Schritt 4.2.8.3.3.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.2.8.3.3.4
Addiere und .
Schritt 4.2.8.3.4
Schreibe als um.
Schritt 4.2.8.3.4.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.2.8.3.4.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.2.8.3.4.3
Kombiniere und .
Schritt 4.2.8.3.4.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.2.8.3.4.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.8.3.4.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.8.3.4.5
Vereinfache.
Schritt 4.2.8.3.5
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 4.2.8.3.5.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.8.3.5.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.8.3.5.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.8.3.6
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Schritt 4.2.8.3.6.1
Ordne die Faktoren in den Termen und neu an.
Schritt 4.2.8.3.6.2
Addiere und .
Schritt 4.2.8.3.6.3
Addiere und .
Schritt 4.2.8.3.7
Vereinfache jeden Term.
Schritt 4.2.8.3.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.8.3.7.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.8.3.8
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.8.3.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.8.4
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.8.5
Addiere und .
Schritt 4.2.9
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.2.10
Kombinieren.
Schritt 4.2.11
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.2.11.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.11.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.12
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 4.2.12.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.12.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 4.2.12.2.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2.12.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.12.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.12.2.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.12.2.5
Dividiere durch .
Schritt 4.3
Berechne .
Schritt 4.3.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 4.3.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 4.3.3
Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.
Schritt 4.3.3.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.3.3.2
Schreibe als um.
Schritt 4.3.4
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.3.5
Vereinfache.
Schritt 4.3.5.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.3.5.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.5.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.5.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.5.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 4.3.5.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.5.4.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.5.4.3
Potenziere mit .
Schritt 4.3.5.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.3.5.4.5
Addiere und .
Schritt 4.3.5.4.6
Schreibe als um.
Schritt 4.3.5.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.3.5.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.5.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 4.3.5.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.5.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.5.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.5.4.6.5
Vereinfache.
Schritt 4.3.5.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.5.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.5.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.5.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.5.6.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.5.6.2
Dividiere durch .
Schritt 4.3.6
Vereinfache jeden Term.
Schritt 4.3.6.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.3.6.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.6.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.6.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.6.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.6.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.6.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 4.3.6.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.6.4.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.6.4.3
Potenziere mit .
Schritt 4.3.6.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.3.6.4.5
Addiere und .
Schritt 4.3.6.4.6
Schreibe als um.
Schritt 4.3.6.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.3.6.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.6.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 4.3.6.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.6.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.6.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.6.4.6.5
Vereinfache.
Schritt 4.3.6.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.6.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.6.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.6.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.6.6.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.6.6.2
Dividiere durch .
Schritt 4.4
Da und gleich sind, ist die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von .