Trigonometrie Beispiele

$2 y = 6 x + 3$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 6 x + 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 6 x + 3$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{6 x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$y = \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{3}{2}$

Schritt 1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2}$

Schritt 1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 x}{1} + \frac{3}{2}$

Schritt 1.3.1.2.4

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$y = 3 x + \frac{3}{2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 y + \frac{3}{2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 y + \frac{3}{2} = x$ um.

$3 y + \frac{3}{2} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\frac{3}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = x - \frac{3}{2}$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x - \frac{3}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x - \frac{3}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{3}{2}}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{3}{2}}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{3}{2}}{3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x}{3} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y = \frac{x}{3} + \frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x}{3} + \frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 x + \frac{3}{2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 x + \frac{3}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{3}{2}) = \frac{3 x + \frac{3}{2}}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 x + \frac{3}{2}$ und $3$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (3 x + \frac{3}{2}) = \frac{3 (x) + \frac{3}{2}}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3}{2}$ heraus.

$f^{- 1} (3 x + \frac{3}{2}) = \frac{3 (x) + 3 (\frac{1}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (\frac{1}{2})$ heraus.

$f^{- 1} (3 x + \frac{3}{2}) = \frac{3 (x + \frac{1}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (3 x + \frac{3}{2}) = \frac{3 (x + \frac{1}{2})}{3 (1)} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 x + \frac{3}{2}) = \frac{3 (x + \frac{1}{2})}{3 \cdot 1} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 x + \frac{3}{2}) = \frac{x + \frac{1}{2}}{1} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.4.4

Dividiere $x + \frac{1}{2}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{3}{2}) = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (3 x + \frac{3}{2}) = x + \frac{1 - 1}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{3}{2}) = x + \frac{0}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{3}{2}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.4

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 x + \frac{3}{2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) = 3 (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) + \frac{3}{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{1}{2}) + \frac{3}{2}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{1}{2}) + \frac{3}{2}$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) = x + 3 (- \frac{1}{2}) + \frac{3}{2}$

Schritt 5.3.3.3

Multipliziere $3 (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) = x - 3 (\frac{1}{2}) + \frac{3}{2}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) = x + \frac{- 3}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 5.3.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) = x - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- \frac{3}{2}$ und $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 x + \frac{3}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{1}{2}$