Trigonometrie Beispiele

$5 x + 4 y = 17$

Schritt 1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = 17 - 5 x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 17 - 5 x$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 17 - 5 x$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{17}{4} + \frac{- 5 x}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{17}{4} + \frac{- 5 x}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{17}{4} + \frac{- 5 x}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{17}{4} - \frac{5 y}{4}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{17}{4} - \frac{5 y}{4} = x$ um.

$\frac{17}{4} - \frac{5 y}{4} = x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $\frac{17}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{5 y}{4} = x - \frac{17}{4}$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{4}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{5 y}{4}) = - \frac{4}{5} (x - \frac{17}{4})$

Schritt 4.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1

Vereinfache $- \frac{4}{5} (- \frac{5 y}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{5} (- \frac{5 y}{4}) = - \frac{4}{5} (x - \frac{17}{4})$

Schritt 4.4.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 y}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 5 y}{4} = - \frac{4}{5} (x - \frac{17}{4})$

Schritt 4.4.1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{4} = - \frac{4}{5} (x - \frac{17}{4})$

Schritt 4.4.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{4} = - \frac{4}{5} (x - \frac{17}{4})$

Schritt 4.4.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{4}{5} (x - \frac{17}{4})$

Schritt 4.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y$ heraus.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{4}{5} (x - \frac{17}{4})$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{4}{5} (x - \frac{17}{4})$

Schritt 4.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{4}{5} (x - \frac{17}{4})$

Schritt 4.4.1.1.3

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{5} (x - \frac{17}{4})$

Schritt 4.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{4}{5} (x - \frac{17}{4})$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $- \frac{4}{5} (x - \frac{17}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} (- \frac{17}{4})$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} (- \frac{17}{4})$

Schritt 4.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{5}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} (- \frac{17}{4})$

Schritt 4.4.2.1.1.3.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{17}{4}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 17}{4}$

Schritt 4.4.2.1.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 17}{4}$

Schritt 4.4.2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 17}{4}$

Schritt 4.4.2.1.1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot - 17$

Schritt 4.4.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{- 1}{5}$ und $- 17$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- - 17}{5}$

Schritt 4.4.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 17$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{17}{5}$

Schritt 4.4.2.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}$

Schritt 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = - \frac{4 (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4})}{5} + \frac{17}{5}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{- 4 (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) + 17}{5}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{- 4 (\frac{17}{4}) - 4 (- \frac{5 x}{4}) + 17}{5}$

Schritt 6.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{4 (- 1) (\frac{17}{4}) - 4 (- \frac{5 x}{4}) + 17}{5}$

Schritt 6.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{4 \cdot (- 1 (\frac{17}{4})) - 4 (- \frac{5 x}{4}) + 17}{5}$

Schritt 6.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{- 1 \cdot 17 - 4 (- \frac{5 x}{4}) + 17}{5}$

Schritt 6.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $17$ .

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{- 17 - 4 (- \frac{5 x}{4}) + 17}{5}$

Schritt 6.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 x}{4}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{- 17 - 4 \frac{- 5 x}{4} + 17}{5}$

Schritt 6.2.4.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{- 17 + 4 (- 1) (\frac{- 5 x}{4}) + 17}{5}$

Schritt 6.2.4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{- 17 + 4 \cdot (- 1 \frac{- 5 x}{4}) + 17}{5}$

Schritt 6.2.4.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{- 17 - 1 (- 5 x) + 17}{5}$

Schritt 6.2.4.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{- 17 + 5 x + 17}{5}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 17 + 5 x + 17$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.1

Addiere $- 17$ und $17$ .

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Schritt 6.2.5.1.2

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 6.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 6.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{17}{4} - \frac{5 (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5})}{4}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{17 - 5 (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5})}{4}$

Schritt 6.3.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{17 - 5 (- \frac{4 x}{5}) - 5 (\frac{17}{5})}{4}$

Schritt 6.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 x}{5}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{17 - 5 \frac{- 4 x}{5} - 5 (\frac{17}{5})}{4}$

Schritt 6.3.4.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{17 + 5 (- 1) (\frac{- 4 x}{5}) - 5 (\frac{17}{5})}{4}$

Schritt 6.3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{17 + 5 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{5}) - 5 (\frac{17}{5})}{4}$

Schritt 6.3.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{17 - 1 (- 4 x) - 5 (\frac{17}{5})}{4}$

Schritt 6.3.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{17 + 4 x - 5 (\frac{17}{5})}{4}$

Schritt 6.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{17 + 4 x + 5 (- 1) (\frac{17}{5})}{4}$

Schritt 6.3.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{17 + 4 x + 5 \cdot (- 1 (\frac{17}{5}))}{4}$

Schritt 6.3.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{17 + 4 x - 1 \cdot 17}{4}$

Schritt 6.3.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $17$ .

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{17 + 4 x - 17}{4}$

Schritt 6.3.5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $17 + 4 x - 17$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.1.1

Subtrahiere $17$ von $17$ .

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 6.3.5.1.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 6.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 6.3.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (- \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{17}{4} - \frac{5 x}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{5} + \frac{17}{5}$