Trigonometrie Beispiele

$9 + \sqrt{x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 9 + \sqrt{y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $9 + \sqrt{y} = x$ um.

$9 + \sqrt{y} = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{y} = x - 9$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 9)}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 9)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 9)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 9)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(x - 9)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(x - 9)}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(x - 9)}^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 9)}^{2}$ als $(x - 9) (x - 9)$ um.

$y = (x - 9) (x - 9)$

Schritt 2.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 9) (x - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x (x - 9) - 9 (x - 9)$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 (x - 9)$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9$

Schritt 2.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9$

Schritt 2.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = x^{2} - 9 \cdot x - 9 x - 9 \cdot - 9$

Schritt 2.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 9$ .

$y = x^{2} - 9 x - 9 x + 81$

Schritt 2.4.3.1.3.2

Subtrahiere $9 x$ von $- 9 x$ .

$y = x^{2} - 18 x + 81$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 9 + \sqrt{x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (9 + \sqrt{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = {(9 + \sqrt{x})}^{2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe ${(9 + \sqrt{x})}^{2}$ als $(9 + \sqrt{x}) (9 + \sqrt{x})$ um.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = (9 + \sqrt{x}) (9 + \sqrt{x}) - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $(9 + \sqrt{x}) (9 + \sqrt{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 9 (9 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (9 + \sqrt{x}) - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 9 \cdot 9 + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} (9 + \sqrt{x}) - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 9 \cdot 9 + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 9 + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 9 + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.3.1.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Schritt 4.2.3.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.3.1.3.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 4.2.3.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.3.1.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.3.2

Addiere $9 \sqrt{x}$ und $9 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 18 \sqrt{x} + x - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

Schritt 4.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 18 \sqrt{x} + x - 18 \cdot 9 - 18 \sqrt{x} + 81$

Schritt 4.2.3.5

Mutltipliziere $- 18$ mit $9$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 18 \sqrt{x} + x - 162 - 18 \sqrt{x} + 81$

Schritt 4.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $81 + 18 \sqrt{x} + x - 162 - 18 \sqrt{x} + 81$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Subtrahiere $18 \sqrt{x}$ von $18 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + x - 162 + 0 + 81$

Schritt 4.2.4.1.2

Addiere $81 + x - 162$ und $0$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + x - 162 + 81$

Schritt 4.2.4.2

Subtrahiere $162$ von $81$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = x - 81 + 81$

Schritt 4.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 81 + 81$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Addiere $- 81$ und $81$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (x^{2} - 18 x + 81)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{x^{2} - 18 x + 81}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.3.1.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{x^{2} - 18 x + 9^{2}}$

Schritt 4.3.3.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Schritt 4.3.3.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}}$

Schritt 4.3.3.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 9$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + x - 9$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $9 + x - 9$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x^{2} - 18 x + 81) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 9 + \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$