Trigonometrie Beispiele

$- 9 \sqrt{x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - 9 \sqrt{y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- 9 \sqrt{y} = x$ um.

$- 9 \sqrt{y} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 9 \sqrt{y} = x$ durch $- 9$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 9 \sqrt{y} = x$ durch $- 9$ .

$\frac{- 9 \sqrt{y}}{- 9} = \frac{x}{- 9}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 \sqrt{y}}{- 9} = \frac{x}{- 9}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\sqrt{y}$ durch $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{- 9}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{y} = - \frac{x}{9}$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y}}^{2} = {(- \frac{x}{9})}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{x}{9})}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{9})}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{9})}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(- \frac{x}{9})}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(- \frac{x}{9})}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(- \frac{x}{9})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.4.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{x}{9}$ an.

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{x}{9})}^{2}$

Schritt 2.4.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{9}$ an.

$y = {(- 1)}^{2} \frac{x^{2}}{9^{2}}$

Schritt 2.4.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 1 \frac{x^{2}}{9^{2}}$

Schritt 2.4.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{9^{2}}$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{9^{2}}$

Schritt 2.4.3.1.4

Potenziere $9$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{81}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{81}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{81}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 9 \sqrt{x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 9 \sqrt{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 9 \sqrt{x}) = \frac{{(- 9 \sqrt{x})}^{2}}{81}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Wende die Produktregel auf $- 9 \sqrt{x}$ an.

$f^{- 1} (- 9 \sqrt{x}) = \frac{{(- 9)}^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{81}$

Schritt 4.2.3.2

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- 9 \sqrt{x}) = \frac{81 {\sqrt{x}}^{2}}{81}$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 4.2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (- 9 \sqrt{x}) = \frac{81 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81}$

Schritt 4.2.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- 9 \sqrt{x}) = \frac{81 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81}$

Schritt 4.2.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (- 9 \sqrt{x}) = \frac{81 x^{\frac{2}{2}}}{81}$

Schritt 4.2.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 9 \sqrt{x}) = \frac{81 x^{\frac{2}{2}}}{81}$

Schritt 4.2.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 9 \sqrt{x}) = \frac{81 x}{81}$

Schritt 4.2.3.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (- 9 \sqrt{x}) = \frac{81 x}{81}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $81$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 9 \sqrt{x}) = \frac{81 x}{81}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 9 \sqrt{x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{81})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{81}) = - 9 \sqrt{\frac{x^{2}}{81}}$

Schritt 4.3.3

Entferne die Klammern.

$f (\frac{x^{2}}{81}) = - 9 \sqrt{\frac{x^{2}}{81}}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{81}) = - 9 \sqrt{\frac{x^{2}}{9^{2}}}$

Schritt 4.3.5

Schreibe $\frac{x^{2}}{9^{2}}$ als ${(\frac{x}{9})}^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{81}) = - 9 \sqrt{{(\frac{x}{9})}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{81}) = - 9 \frac{x}{9}$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.3.7.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{81}) = 9 (- 1) (\frac{x}{9})$

Schritt 4.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{81}) = 9 \cdot (- 1 \frac{x}{9})$

Schritt 4.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{81}) = - 1 x$

Schritt 4.3.8

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (\frac{x^{2}}{81}) = - x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{81}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 9 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{81}$