Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 2^{x + 3} - 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2^{x + 3} - 1$ als Gleichung.

$y = 2^{x + 3} - 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2^{y + 3} - 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2^{y + 3} - 1 = x$ um.

$2^{y + 3} - 1 = x$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2^{y + 3} = x + 1$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{y + 3}) = \ln (x + 1)$

Schritt 3.4

Zerlege $\ln (2^{y + 3})$ durch Herausziehen von $y + 3$ aus dem Logarithmus.

$(y + 3) \ln (2) = \ln (x + 1)$

Schritt 3.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y \ln (2) + 3 \ln (2) = \ln (x + 1)$

Schritt 3.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$y \ln (2) + 3 \ln (2) - \ln (x + 1) = 0$

Schritt 3.7

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.7.1

Subtrahiere $3 \ln (2)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y \ln (2) - \ln (x + 1) = - 3 \ln (2)$

Schritt 3.7.2

Addiere $\ln (x + 1)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \ln (2) = - 3 \ln (2) + \ln (x + 1)$

Schritt 3.8

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2) = - 3 \ln (2) + \ln (x + 1)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2) = - 3 \ln (2) + \ln (x + 1)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 3 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 3.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 3 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 3.8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 3 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 3.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 3 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 3.8.3.1.2

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$y = - 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2^{x + 3} - 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2^{x + 3} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = - 3 + \frac{\ln ((2^{x + 3} - 1) + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 + \frac{\ln ((2^{x + 3} - 1) + 1)}{\ln (2)}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = - 3 + \frac{\ln (2^{x + 3} + 0)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $2^{x + 3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = - 3 + \frac{\ln (2^{x + 3})}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Zerlege $\ln (2^{x + 3})$ durch Herausziehen von $x + 3$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = - 3 + \frac{(x + 3) \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = - 3 + \frac{(x + 3) \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.4.2.2

Dividiere $x + 3$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = - 3 + x + 3$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 + x + 3$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = x + 0$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = 2^{(- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) + 3} - 1$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2^{(- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) + 3} - 1$ .

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}} - 1$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $0$ und $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$ .

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}} - 1$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x + 1)} - 1$

Schritt 5.3.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.5.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2^{x + 3} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = - 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$