Trigonometrie Beispiele

Ermittle die Umkehrfunktion f(x)=2^(x+3)-1
Schritt 1
Schreibe als Gleichung.
Schritt 2
Vertausche die Variablen.
Schritt 3
Löse nach auf.
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Schritt 3.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.3
Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.
Schritt 3.4
Zerlege durch Herausziehen von aus dem Logarithmus.
Schritt 3.5
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.5.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.6
Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.
Schritt 3.7
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 3.7.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.7.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.8
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 3.8.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.8.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.8.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.8.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.8.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.8.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.8.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.8.3.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.8.3.1.2
Dividiere durch .
Schritt 4
Ersetze durch , um die endgültige Lösung anzuzeigen.
Schritt 5
Überprüfe, ob die Umkehrfunktion von ist.
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Schritt 5.1
Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob ist und ist.
Schritt 5.2
Berechne .
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Schritt 5.2.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 5.2.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 5.2.3
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 5.2.3.1
Addiere und .
Schritt 5.2.3.2
Addiere und .
Schritt 5.2.4
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 5.2.4.1
Zerlege durch Herausziehen von aus dem Logarithmus.
Schritt 5.2.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.2.4.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2.4.2.2
Dividiere durch .
Schritt 5.2.5
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 5.2.5.1
Addiere und .
Schritt 5.2.5.2
Addiere und .
Schritt 5.3
Berechne .
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Schritt 5.3.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 5.3.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 5.3.3
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 5.3.3.1
Addiere und .
Schritt 5.3.3.2
Addiere und .
Schritt 5.3.4
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 5.3.4.1
Nutze die Änderung der Basis-Regel .
Schritt 5.3.4.2
Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.
Schritt 5.3.5
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 5.3.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 5.3.5.2
Addiere und .
Schritt 5.4
Da und gleich sind, ist die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von .