Trigonometrie Beispiele

$f (x) = {2.3}^{x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {2.3}^{x}$ als Gleichung.

$y = {2.3}^{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {2.3}^{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${2.3}^{y} = x$ um.

${2.3}^{y} = x$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({2.3}^{y}) = \ln (x)$

Schritt 3.3

Zerlege $\ln ({2.3}^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (2.3) = \ln (x)$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2.3) = \ln (x)$ durch $\ln (2.3)$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2.3) = \ln (x)$ durch $\ln (2.3)$ .

$\frac{y \ln (2.3)}{\ln (2.3)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2.3)$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (2.3)}{\ln (2.3)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {2.3}^{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} \cdot {2.3}^{x}$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot {2.3}^{x} = \frac{\ln ({2.3}^{x})}{\ln (2.3)}$

Schritt 5.2.3

Zerlege $\ln ({2.3}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} \cdot {2.3}^{x} = \frac{x \ln (2.3)}{\ln (2.3)}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2.3)$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} \cdot {2.3}^{x} = \frac{x \ln (2.3)}{\ln (2.3)}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} \cdot {2.3}^{x} = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}) = {2.3}^{\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}}$

Schritt 5.3.3

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}) = {2.3}^{\log_{2.3} (x)}$

Schritt 5.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {2.3}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2.3)}$