Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{15}{5 x - 15}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{15}{5 x - 15}$ als Gleichung.

$y = \frac{15}{5 x - 15}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{15}{5 y - 15}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{15}{5 y - 15} = x$ um.

$\frac{15}{5 y - 15} = x$

Schritt 3.2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y - 15$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y$ heraus.

$\frac{15}{5 (y) - 15} = x$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 15$ heraus.

$\frac{15}{5 y + 5 \cdot - 3} = x$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 y + 5 \cdot - 3$ heraus.

$\frac{15}{5 (y - 3)} = x$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{15}{5 (y - 3)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$\frac{5 \cdot 3}{5 (y - 3)} = x$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 3}{5 (y - 3)} = x$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{y - 3} = x$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 3, 1$

Schritt 3.3.2

Entferne die Klammern.

$y - 3, 1$

Schritt 3.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y - 3$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{y - 3} = x$ mit $y - 3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{y - 3} = x$ mit $y - 3$ .

$\frac{3}{y - 3} (y - 3) = x (y - 3)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{y - 3} (y - 3) = x (y - 3)$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = x (y - 3)$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 = x y + x \cdot - 3$

Schritt 3.4.3.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 = x y - 3 x$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x y - 3 x = 3$ um.

$x y - 3 x = 3$

Schritt 3.5.2

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y = 3 + 3 x$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $x y = 3 + 3 x$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 3 + 3 x$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{3}{x} + \frac{3 x}{x}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{3}{x} + \frac{3 x}{x}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{x} + \frac{3 x}{x}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3}{x} + \frac{3 x}{x}$

Schritt 3.5.3.3.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{x} + 3$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} + 3$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} + 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{15}{5 x - 15}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{15}{5 x - 15}} + 3$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $5 x - 15$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 x - 15}} + 3$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 (x) - 15}} + 3$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 15$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 (x) + 5 (- 3)}} + 3$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (- 3)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 (x - 3)}} + 3$

Schritt 5.2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{5 \cdot 3}{5 (x - 3)}} + 3$

Schritt 5.2.3.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 3}} + 3$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = 3 (\frac{x - 3}{3}) + 3$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = 3 (\frac{x - 3}{3}) + 3$

Schritt 5.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = x - 3 + 3$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 + 3$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{15}{5 x - 15}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{3}{x} + 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{15}{5 (\frac{3}{x} + 3) - 15}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $5 (\frac{3}{x} + 3) - 15$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{5 \cdot 3}{5 (\frac{3}{x} + 3) - 15}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 15$ heraus.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{5 \cdot 3}{5 (\frac{3}{x} + 3) + 5 (- 3)}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $5 (\frac{3}{x} + 3) + 5 (- 3)$ heraus.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{5 \cdot 3}{5 (\frac{3}{x} + 3 - 3)}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{5 \cdot 3}{5 (\frac{3}{x} + 3 - 3)}$

Schritt 5.3.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3}{\frac{3}{x} + 3 - 3}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $\frac{3}{x} + 3 - 3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 (1)}{\frac{3}{x} + 3 - 3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3}{x}$ heraus.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 \cdot 1}{3 (\frac{1}{x}) + 3 - 3}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 (1)}{3 (\frac{1}{x}) + 3 \cdot 1 - 3}$

Schritt 5.3.3.2.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \frac{1}{x} + 3 \cdot 1$ heraus.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 (1)}{3 (\frac{1}{x} + 1) - 3}$

Schritt 5.3.3.2.2.4

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 \cdot 1}{3 (\frac{1}{x} + 1) + 3 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.3.2.2.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (\frac{1}{x} + 1) + 3 (- 1)$ heraus.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 (1)}{3 (\frac{1}{x} + 1 - 1)}$

Schritt 5.3.3.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{3 \cdot 1}{3 (\frac{1}{x} + 1 - 1)}$

Schritt 5.3.3.2.2.7

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 1 - 1}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{3}{x} + 3) = 1 x$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{3}{x} + 3) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} + 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{15}{5 x - 15}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} + 3$