Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} x + 9$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{3} x + 9$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{3} x + 9$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{3} y + 9$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} y + 9 = x$ um.

$\frac{1}{3} y + 9 = x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y$ .

$\frac{y}{3} + 9 = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{3} = x - 9$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 (x - 9)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y}{3} = 3 (x - 9)$

Schritt 3.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 (x - 9)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $3 (x - 9)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 x + 3 \cdot - 9$

Schritt 3.5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 9$ .

$y = 3 x - 27$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 3 x - 27$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 3 x - 27$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{3} x + 9$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{3} x + 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x + 9) = 3 (\frac{1}{3} x + 9) - 27$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x + 9) = 3 (\frac{x}{3} + 9) - 27$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x + 9) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 9 - 27$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x + 9) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 9 - 27$

Schritt 5.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x + 9) = x + 3 \cdot 9 - 27$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x + 9) = x + 27 - 27$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 27 - 27$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $27$ von $27$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x + 9) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x + 9) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (3 x - 27)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3 x - 27) = \frac{1}{3} \cdot (3 x - 27) + 9$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (3 x - 27) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{1}{3} \cdot - 27 + 9$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (3 x - 27) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x)) + \frac{1}{3} \cdot - 27 + 9$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 x - 27) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{1}{3} \cdot - 27 + 9$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (3 x - 27) = x + \frac{1}{3} \cdot - 27 + 9$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$f (3 x - 27) = x + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 9)) + 9$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 x - 27) = x + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 9) + 9$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (3 x - 27) = x - 9 + 9$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 9 + 9$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f (3 x - 27) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (3 x - 27) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 3 x - 27$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{3} x + 9$ .

$f^{- 1} (x) = 3 x - 27$